เอกลักษณ์ตรีโกณ | มุมสองเท่า สามเท่า และ ครึ่งเท่า (ม.5)


อ่าน 1,514 ครั้ง

อยากดูแบบวิดีโอ?

เข้าหาบทความพี่ง่ายๆ จาก Google

ตรีโกณมิติ ม.5
ตรีโกณมิติ ม.5

มุมสองเท่า : \(2\theta\)

นี่คือเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ ม.5 ชุดสุดท้ายที่น้อง ๆ ต้องจำและฝึกใช้กันก่อนไปเข้าห้องสอบ ซึ่งลักษณะเรื่องแรกพี่จะพูดถึง มุมสองเท่า ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ sin cos tan กันก่อน

ลักษณะที่น้องเจอก็จะเป็นหน้าตาประมาณนี้ครับ \(\textcolor{blue}{sin(2A), cos(2A), tan(2A)}\)

สูตรพวกนี้เอาจริง ๆ หาก น้องลืมว่าสูตรคืออะไร น้องสามารถใช้ เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ เรื่องที่แล้วเกี่ยวกับ ผลบวกผลต่างมุม โดยแทน มุม \(A\) กับ \(B\)  ใน \(sin(A+B)\) เป็น \(A\) ทั้งคู่ เช่น \(sin(2A)=sin(A+A)\) \(=sinAcosA+cosAsinA\) \(=2sinAcosA\) ประมาณนี้ แต่หากจำไปเลยจะค่อนข้างง่ายและทำโจทย์ได้เร็วกว่า ดังนั้น แล้วแต่ความถนัดของแต่ละคนเลย

\(sin(2\theta)=2sin\theta cos\theta\)

\(**cos(2\theta)=cos^2\theta-sin^2\theta\)

\(tan(2\theta)=\dfrac{2tan\theta}{1-tan^2\theta}\)

จงหาค่าของ \(2sin(15^\circ)cos(15^\circ)\)

เฉลย

จงหาค่าของ \(sin(22.5^\circ)cos(22.5^\circ)\)

เฉลย

** เสริมสูตร COS 2A เนื่องจากสูตรดั่งเดิมของ \(cos2A=cos^2A-sin^2A\) ซึ่งพวก sin กำลังสอง กับ cos กำลังสอง พี่เคยพูดไปใน เรื่องเอกลักษณ์พาร์ท 1 แล้วว่าเราควรนึกถึงสูตรนี้เสมอ \(sin^2\theta+cos^2\theta=1\) เวลาพี่ใช้ \(\theta\) ปนกับ \(A\) คือตั้งใจนะ 5555+ บางคนอาจจะงง พี่สลับไปมาทำไม คือการสลับตัวแปรจะทำให้น้องเก็ทหลักการได้ดีขึ้น ไม่ยึดติดกับสิ่งใดสิ่งหนึ่ง ประมาณนั้น :)

ดังนั้นเราสามารถใช้ \(sin^2\theta+cos^2\theta=1\) เพื่อกำจัด sin หรือ cos ออกจากสมการดั้งเดิมได้

กำจัด sin ออก \(\textcolor{VioletRed}{sin^2A=1-cos^2A}\)
\(cos2A=cos^2A-sin^2A\) \(=cos^2A-(1-cos^2A)=2cos^2A-1\) 

กำจัด cos ออก \(\textcolor{VioletRed}{cos^2A=1-sin^2A}\)
\(cos2A=cos^2A-sin^2A\) \(=(1-sin^2A)-sin^2A=1-2sin^2A\) 

ดังนั้นอีกสองสูตรที่ควรรู้ (ไม่จำเป็นต้องจำ) แค่รู้หลักการว่าเอามาจากเอกลักษณ์พื้นฐานก็พอ คือ

\(cos(2\theta)=2cos^2\theta-1\) 

\(cos(2\theta)=1-2sin^2\theta\) 


มุมสามเท่า : \(3\theta\)

จำเป็นชุด ๆ จะจำง่ายกว่า ในตอนนี้เราจะมาดูสูตรมุมสามเท่ากัน ซึ่งหากใครลืมจริง ๆ น้องก็สามารถหาได้จาก การทำสูตรมุม 2 เท่า รวมกับ ผลบวกมุม นั่นเอง เช่น \(sin(3A)=sin(A+2A)\)  \(=sinAcos2A+cosAsin2A\) \(=\;...\)  แล้วก็ใช้สูตร มุมสองเท่ามาช่วย แต่อย่างที่เห็นแหละว่ามันแอบเสียเวลา ดังนั้น เราหาหลักการจำกันไปใช้เลยดีกว่า ข้างบนเอาไว้ใช้ตอนลืมจริง ๆ แบบ 100% ให้รู้ว่า เรามีทางที่จะได้สูตรมานะหากเข้าขั้นลืมสุดขีด

\(sin(3\theta)=3sin\theta-4sin^3\theta\)

\(cos(3\theta)=4cos^3\theta-3cos\theta\)

\(tan(3\theta)=\dfrac{3tan\theta-tan^3\theta}{1-3tan^2\theta}\)


มุมครึ่งเท่า : \(\dfrac{\theta}{2}\)

ชุดสูตรนี้เป็นสูตรกลุ่มสุดท้ายที่ น้องควรจะจำได้ กลุ่มอื่น ๆ ที่พี่ไม่ได้กล่าวถึงคือไม่จำเป็นต้องจำ ส่วนมาก เป็นสูตรพลิกแพลงและก็มีหนทางการแก้โจทย์แบบไม่ต้องใช้สูตรพวกนั้นอยู่เสมอ ดังนั้นจำแค่ที่กล่าวมา 3 พาร์ท น้อง ๆ ก็พร้อมที่จะตะลุยโจทย์กันแล้วแน่นอนครับ

\(sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)=\pm\sqrt{\dfrac{1-cos\theta}{2}}\)

\(cos\left(\dfrac{\theta}{2}\right)=\pm\sqrt{\dfrac{1+cos\theta}{2}}\)

เอาจริง ๆ สำหรับ \(tan\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\) น้องไม่ต้องจำก็ได้ครับ เนื่องจากสูตรมุมครึ่งเท่า มีความคล้ายคลึงกันของ \(sin\) และ \(cos\) ดังนั้นหากเราต้องการหา \(tan\) เราก็แค่จับสองตัวมาหารกัน

\(tan\left(\dfrac{\theta}{2}\right)=\dfrac{sin(0.5\theta)}{cos(0.5\theta)}\) \(=\pm\sqrt{\dfrac{1-cos\theta}{1+cos\theta}}\) 

ในเรื่องนี้พี่อยากให้น้องสังเกต เครื่องหมาย +/- หน้ารูทให้ดี ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ไม่ว่าจะเป็น sin cos tan ... เมื่อน้องใส่ มุมเข้าไป ผลลัพธ์จะมีค่าเดียวเสมอ ใช่แล้วครับ แต่สูตรนี้ น้องต้องเลือกเครื่องหมาย ตามมุมในสมการฝั่งซ้าย โดยใช้จตุภาคที่พี่เคยกล่าวไปใน เรื่องการหาค่าตรีโกณมิติทุกมุมโดยใช้วงกลม 1 หน่วย มาดูตัวอย่างกันเพื่อความไม่งง

จงหาค่าของ \(sin(30^\circ)\) โดยใช้สูตรมุมครึ่งเท่า (เราจะมาดูกันว่าได้ \(\dfrac{1}{2}\) ตามที่เคยท่องใน ม.3 หรือเปล่า)

\(sin(30^\circ)\) \(=sin\left(\dfrac{60^\circ}{2}\right)\)  \(=\pm\sqrt{\dfrac{1-cos(60^\circ)}{2}}\)  \(=\pm\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{1}{2}}{2}}\)  \(=\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}}\)  \(=\pm\dfrac{1}{2}\) 

สังเกตกันมั้ยว่าถ้าใช้สูตรนี้ จะติดเครื่องหมาย +/- เราต้องเลือกแค่อันเดียวตามโจทย์ โจทย์ข้อนี้คือ \(sin(30^\circ)\) ซึ่งอยู่ในจตุภาคที่หนึ่ง sin เป็น + ดังนั้น จึงตอบ \(\dfrac{1}{2}\) นั่นเอง

เคล็บลัดมองโจทย์มุมครึ่งเท่า

อยากให้สังเกตสูตรนี้ ซึ่งออกข้อสอบบ่อยสุดเลยก็ว่าได้ ข้อดีคือไอ้เครื่องหมาย +/- นี่แหละครับน้อง ส่วนมากเวลาทำโจทย์เราจะไม่รู้ค่ามุมตั้งต้น ดังนั้นแปลว่า เราไม่มีทางรู้เลยว่าต้องใช้ค่า + หรือ - โจทย์ทั้งหลายเลยแก้ปัญหาโดยการ ยกกำลังสอง สูตรนี้มันซะเลย

การยกกำลังสองจะทำให้เครื่องหมาย +/- กลายเป็น + เท่านั้นและ \(\sqrt{\phantom{\;\;}}\) ก็หายไปด้วย ดังนั้น เวลาเจอโจทย์หากมีกำลังสองนอกจากจะนึกถึงสูตร \(sin^2\theta+cos^2\theta=1\) แล้ว ก็นึกถึงสูตรนี้ด้วยนะ เดี๋ยวพี่จะเอาโจทย์ตัวอย่างมาให้ดูในพาร์ทตะลุยโจทย์ท้ายบทนะ

หากบทความพี่เป็นประโยชน์ ฝากแชร์ต่อให้เพื่อนๆ ด้วยนะครับ :')