เอกลักษณ์ตรีโกณ (ม.5)


อ่าน 1,281 ครั้ง

อยากดูแบบวิดีโอ?

เข้าหาบทความพี่ง่ายๆ จาก Google

ตรีโกณมิติ ม.5
ตรีโกณมิติ ม.5
เอกลักษณ์ตรีโกณ

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ (1)

ข้อควรจำและระวัง

ความแตกต่างระหว่าง \(sin^2(\theta)\) กับ \(sin(\theta)^2\) ที่มักสับสน \(sin^2(\theta)\) คือ การนำ \(sin(\theta)\) มาคูณกันสองที \(sin^2(\theta) = sin(\theta)\times sin(\theta) = \left(sin(\theta)\right)^2\)

แต่ \(sin(\theta)^2\) คือ การ นำมุมไปยกกำลังสอง แล้วค่อยหาค่า \(sin\) กล่าวง่าย ๆ คือ ยกกำลังสองที่มุม

เราจะมาเข้าเรื่องกันและครับน้องว่า พวก sin cos tan cot sec cosec ในตรีโกณมิติที่เราเรียนกันมาเนี่ย มันมีความสัมพันธ์ในเชิงสมการตรีโกณมิติกันยังไงบ้าง (เรียกอีกอย่างว่า เอกลักษณ์ตรีโกณ) มันคือ สมการที่จะเป็นจริงเสมอ ไม่ว่าจะใส่มุมองศาเป็นอะไรก็ตาม

สมการตรีโกณมิติอันแรกเลยคือ เอกลักษณ์ยอดฮิต ไม่รู้ไม่ได้! ของ \(sin\) กับ \(cos\) กล่าวไว้ว่า...

\(sin^2(\theta)+cos^2(\theta)=1\)

เช่น \(sin^2(-56^{\circ})+cos^2(-56^{\circ})=1\) หรือ \(sin^2\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)+cos^2\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=1\) ก็คือถ้าน้องมีมุมเดียวกัน sin กำลังสอง + cos กำลังสอง จะเท่ากับ 1 นั่นเอง

ที่มาก็ไม่ซับซ้อนครับ เอกลักษณ์นี้ต้องจำให้ได้ แต่ที่มามันก็มาจากวงกลม 1 หน่วยนั่นแหละน้อง น้องจำกันได้มั้ยครับว่า การกวาดมุม สมมติพี่กวาดไป \(\theta\) พี่จะได้ค่า \(x, y\) มา ซึ่งมันเป็น จุดบนวงกลมที่มีรัศมี 1 หน่วย วงกลม 1 หน่วยสมการว่าอะไร จำกันได้หรือเปล่าใน ม.3

ใช่แล้วน้อง สมการคือ \(x^2+y^2=1\) นั่นเอง แล้ว ๆ ๆ เราบอกไงว่า cos x sin y ดังนั้น ก็แทน \(x = cos(\theta)\) และ \(y = sin(\theta)\) เข้าไปจบเลย ก็ได้เอกลักษณ์ตัวแรก คือ \(sin^2(\theta)+cos^2(\theta)=1\)

กำหนดให้ \(sin^2(A) = \dfrac{5}{12}\) จงหา \(cos^2(A)\)

เฉลย

จงหาค่าของ \(\dfrac{cos(\theta)}{sec(\theta)}+\dfrac{sin(\theta)}{cosec(\theta)}\)

เฉลย


เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ (2)

ตัวต่อ ๆ ไปที่พี่จะพูดถึงน้อง ๆ ไม่จำเป็นต้องจำนะ พี่ไม่เคยจำและก็ยังทำโจทย์ได้ตลอด พี่แนะนำให้น้องเอาสมองเก็บไว้จำสูตรตรีโกณเรื่องอื่นที่พี่จะกล่าวในอนาคตดีกว่า เนื่องจาก มันเยอะเสียเหลือเกิน

น้องนำสมการเอกลักษณ์อันที่เรารู้ \(sin^2(\theta)+cos^2(\theta)=1\) เนี่ย มาแก้หาเอกลักษณ์อีกสองตัวที่เหลือครับ

1. นำไปหาร \(sin^2(\theta)\) ตลอดสมการ

\begin{align} \\ sin^2(\theta)+cos^2(\theta) & = 1 \\[5pt] \dfrac{sin^2(\theta)}{\textcolor{blue}{sin^2(\theta)}}+\dfrac{cos^2(\theta)}{\textcolor{blue}{sin^2(\theta)}} & = \dfrac{1}{\textcolor{blue}{sin^2(\theta)}} \\[5pt] 1 + cot^2(\theta) & = cosec^2(\theta) \\ & \end{align}

จากสมการ พจน์แรก กลายเป็น 1, พจน์สอง cos ส่วน sin คือ cot, พจน์สุดท้าย คือ 1 ส่วน sin เป็น cosec จบและน้อง ได้สูตรใหม่ที่น้องสามารถคิดในห้องสอบได้ 5 วิ โดยไม่ต้องจำ หากน้องจำผิดมันผิดเลยนะ แต่อันนี้คือยังไงก็ไม่มีทางผิด

\(1 + cot^2(\theta) = cosec^2(\theta)\)

จงหาค่าของ \(cosec^2\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)-cot^2\left(-\dfrac{13\pi}{8}\right)\)

เฉลย

2. นำไปหาร \(cos^2(\theta)\) ตลอดสมการ

\begin{align} \\ sin^2(\theta)+cos^2(\theta) & = 1 \\[5pt] \dfrac{sin^2(\theta)}{\textcolor{blue}{cos^2(\theta)}}+\dfrac{cos^2(\theta)}{\textcolor{blue}{cos^2(\theta)}} & = \dfrac{1}{\textcolor{blue}{cos^2(\theta)}} \\[5pt] tan^2(\theta) + 1 & = sec^2(\theta) \\ & \end{align}

จบและน้อง ทุกอย่างเหมือนเดิม เพิ่มเติมคือได้เอกลักษณ์เพิ่มมาแบบง่าย หากใครสนใจตะลุยโจทย์ปานกลาง - ยากเพิ่มเติม ในเรื่องนี้ สามารถดูได้ที่คลิปด้านบนเลยนะครับ

\(tan^2(\theta) + 1 = sec^2(\theta)\)

หากบทความพี่เป็นประโยชน์ ฝากแชร์ต่อให้เพื่อนๆ ด้วยนะครับ :')