เอกลักษณ์ตรีโกณ | ผลบวกและผลต่างมุม และ ฟังก์ชัน (ม.5)


อ่าน 891 ครั้ง

อยากดูแบบวิดีโอ? (พาร์ท 1)

(พาร์ท 2)

เข้าหาบทความพี่ง่ายๆ จาก Google

ตรีโกณมิติ ม.5
ตรีโกณมิติ ม.5

ผลบวกและผลต่างมุม ตรีโกณมิติ

เกริ่นนำ... เรื่องนี้เป็นเรื่องที่พี่ขออนุญาตให้น้องจำสูตร! ใช่ครับ การพิสูจน์ที่มาของสูตรในบทนี้ก็มีเช่นกัน แต่น้องไม่สามารถเข้าไปพิสูจน์เพื่อได้สูตรพวกนี้ในห้องสอบ ดังนั้น พี่แนะนำว่า จงหาวิธีการจำที่ตัวเองคิดว่าง่ายสุด นะครับ

เคลียร์สมองให้พร้อมครับน้อง ๆ เนื่องจาก ที่ผ่านมาพี่บอกน้องไปแล้วว่า อย่าจำสูตรเด็ดขาด เพราะพี่จะให้น้องมาจำในส่วนนี้นี่แหละ เป็นส่วนที่พี่ค่อนข้างไม่ชอบตรีโกณมิติ เพราะสูตรมันเยอะเกิน และมันต้องจำ แต่นั่นแหละครับ ถ้าไม่จำก็สอบไม่ได้จ้า 555555 ดังนั้นมาเริ่มกันเลย

ผลบวกผลต่างมุม น้องสามารถใช้สูตรดังต่อไปนี้กันได้เลย เราไปดูสูตรกันก่อน แล้วเดี๋ยวพี่จะยกตัวอย่างวิธีการใช้ให้นะ


\(sin(A\textcolor{blue}{\pm} B)=sin(A)cos(B)\textcolor{blue}{\pm} cos(A)sin(B)\)

\(cos(A\textcolor{blue}{\pm} B)=cos(A)cos(B)\textcolor{blue}{\mp} sin(A)sin(B)\)

\(tan(A\textcolor{blue}{\pm} B)=\dfrac{tan(A)\textcolor{blue}{\pm} tan(B)}{1 \textcolor{blue}{\mp} {tan(A)}{tan(B)}}\)

จงหาค่าของ \(cos(15^\circ)\)

เฉลย

วิธีการจำสูตรเดี๋ยวพี่ใส่ไว้ทีเดียวในวิดีโอสอนด้านบนและกันนะครับ น้องคนไหนสนใจก็ไปเปิดดูได้ เผื่อเป็นไอเดียว่าจะจำสูตรกันยังไง


ผลบวกและผลต่างฟังก์ชัน ตรีโกณมิติ

ส่วนนี้เป็นส่วนเพิ่มเติมจากสูตรข้างบนที่มีมา ถามว่าต้องจำมั้ย? อาจจะไม่ต้องขนาดนั้น แต่ต้องรู้ว่า มีสูตรพวกนี้อยู่นะ เวลาทำข้อสอบจะได้ไม่ลืมนึกถึงสูตรนี้ด้วย ไม่งั้นน้องอาจจะแก้โจทย์ไม่ได้ แบบตันไปเลย งั้นเรามาดูกันก่อนว่าสูตรพวกนี้มีที่มาจากสูตรพาร์ทบนอย่างไร

1. ผลบวก/ต่างฟังก์ชัน sin

\((1)\;\;sin(A\textcolor{blue}{+} B)=sin(A)cos(B)\textcolor{blue}{+} cos(A)sin(B)\) 
\((2)\;\; sin(A\textcolor{blue}{-} B)=sin(A)cos(B)\textcolor{blue}{-} cos(A)sin(B)\) 

นี่คือสองสูตรที่เรารู้มาแล้วจากด้านบน น้องจะสังเกตว่าแต่ละสูตรในเอกลักษณ์ตรีโกณข้างบนเราใช้ ผลบวกผลต่างมุม สูตรนี้เราจะใช้ ผลบวกผลต่างฟังก์ชัน แทนครับ กล่าวง่าย ๆ คือ พี่จะนำสองสมการ มายำรวมกัน

กรณี 1: นำ (1) + (2)
\(sin(A+B)\textcolor{blue}{+}sin(A-B)=2sin(A)cos(B)\) เพราะพจน์ท้าย cos sin ตัดกันหาย

กรณี 2: นำ (1) - (2)
\(sin(A+B)\textcolor{blue}{-}sin(A-B)=2cos(A)sin(B)\) เพราะพจน์แรก sin cos ตัดกันหาย

\(sin(A+B)\textcolor{blue}{+}sin(A-B)=2sin(A)cos(B)\) 

\(sin(A+B)\textcolor{blue}{-}sin(A-B)=2cos(A)sin(B)\)

2. ผลบวก/ต่างฟังก์ชัน cos

\((1)\;\;cos(A\textcolor{blue}{+} B)=cos(A)cos(B)\textcolor{blue}{-} sin(A)sin(B)\) 
\((2)\;\; cos(A\textcolor{blue}{-} B)=cos(A)cos(B)\textcolor{blue}{+} sin(A)sin(B)\) 

กรณี 1: นำ (1) + (2)
\(cos(A+B)\textcolor{blue}{+}cos(A-B)=2cos(A)cos(B)\) เพราะพจน์ท้าย sin sin ตัดกันหาย

กรณี 2: นำ (1) - (2)
\(cos(A+B)\textcolor{blue}{-}cos(A-B)=-2sin(A)sin(B)\) เพราะพจน์แรก cos cos ตัดกันหาย

\(cos(A+B)\textcolor{blue}{+}cos(A-B)=2cos(A)cos(B)\) 

\(cos(A+B)\textcolor{blue}{-}cos(A-B)=\textcolor{red}{-}2sin(A)sin(B)\)

สำหรับ tan พี่คิดว่าคงไม่มีใครนิยมจับมาบวกลบกัน เนื่องจากมันตัดสมการได้ไม่สวย ดังนั้นสูตรนี้หลัก ๆ น้องจึงจะเห็นแค่ sin กับ cos ครับ


ผลบวกและผลต่างฟังก์ชัน (สูตรจัดรูป) ตรีโกณมิติ

ของพาร์ทที่แล้ว

\(sin(A+B)\textcolor{blue}{+}sin(A-B)=2sin(A)cos(B)\) 

\(sin(A+B)\textcolor{blue}{-}sin(A-B)=2cos(A)sin(B)\) 

\(cos(A+B)\textcolor{blue}{+}cos(A-B)=2cos(A)cos(B)\) 

\(cos(A+B)\textcolor{blue}{-}cos(A-B)=\textcolor{red}{-}2sin(A)sin(B)\)

ไม่รู้ว่าจะมีอะไรกันเยอะแยะ แต่หากน้องสังเกตพาร์ทที่แล้วจะสังเกตว่าปกติเรามักใช้สูตรแปลง จากด้านซ้ายไปขวา แต่ ๆ ๆ ด้านซ้ายมันพะรุงพะรังเหลือเกินน้อง ดังนั้น จึงมีคนยอกว่าเฮ้ย จัดรูปหน่อยสิ

จาก \(sin(A+B)\textcolor{blue}{+}sin(A-B)\)

ให้เป็น \(sin(X)\textcolor{blue}{+}sin(Y)\)

เพื่อที่ว่า เราจะได้ใช้สูตรได้เลย ตัวอย่างเพื่อความเคลียร์ ถ้าเป็นสูตรดั้งเดิมอันนี้ \(sin(\textcolor{blue}{A+B})+sin(\textcolor{green}{A-B})\) และน้องต้องการใช้กับสมการ \(sin(\textcolor{blue}{45^\circ})+sin(\textcolor{green}{15^\circ})\) น้องยังใช้ไม่ได้ถูกมั้ยครับ เพราะน้องต้องหา A กับ B ก่อน โดย \(A+B=45^\circ\) และ \(A-B=15^\circ\) ก็ต้องไปแก้สมการสองตัวแปรยุ่งยากอีก

ดังนั้นเค้าเลยว่าอะแทน \(A+B\) เป็น \(X\) และ \(A-B\) เป็น \(Y\) ดังนั้นแก้สมการเสร็จสรรพ เราจะได้ว่า \(A=\dfrac{X+Y}{2}\) และ \(B=\dfrac{X-Y}{2}\) สูตรทั้งหมดก็เลยเป็นแบบนี้แทน

แบบจัดรูปจากพาร์ทที่แล้ว

\(sin(X)\textcolor{blue}{+}sin(Y)=2sin\left(\dfrac{X+Y}{2}\right)cos\left(\dfrac{X-Y}{2}\right)\) 

\(sin(X)\textcolor{blue}{-}sin(Y)=2cos\left(\dfrac{X+Y}{2}\right)sin\left(\dfrac{X-Y}{2}\right)\) 

\(cos(X)\textcolor{blue}{+}cos(Y)=2cos\left(\dfrac{X+Y}{2}\right)cos\left(\dfrac{X-Y}{2}\right)\) 

\(cos(X)\textcolor{blue}{-}cos(Y)=\textcolor{red}{-}2sin\left(\dfrac{X+Y}{2}\right)sin\left(\dfrac{X-Y}{2}\right)\)

ทั้งหมดคือสูตรผลบวกผลต่างของมุมและฟังก์ชันที่ต้องจะได้ใช้ในข้อสอบ Entrance ต่าง ๆ ย้ำอีกทีว่าต้องจำครับ และพี่จะแปะวิดีโอให้บนหน้านี้ หากใครสนใจอยากรู้ว่าพี่นั้นจำยังไง มีทริคอะไร ก็ไปกดดูกันนะครับ

หากบทความพี่เป็นประโยชน์ ฝากแชร์ต่อให้เพื่อนๆ ด้วยนะครับ :')