เข้าหาบทความพี่ง่ายๆ จาก Google
เพาเวอร์เซต คืออะไร
เพาเวอร์เซต ง่าย ๆ เลยก็คือ
เซตของสับเซตทั้งหมด สัญลักษณ์ที่ใช้ \(P(A)\)
เพื่อให้มองเห็นภาพง่ายขึ้น สมมติว่าพี่มีเซต \(A = \{1, 2\}\) สับเซตทั้งหมด หากน้อง ๆ ได้อ่านจากพาร์ทที่แล้วเรื่อง
การหาสับเซตทั้งหมด ก็ไม่น่ายาก
เราจะได้ว่าสับเซตของ \(A\) คือ \(\{\}\;,\;\{1\}\;,\;\{2\}\;,\;\{1,2\}\) จากนั้นพี่ก็แค่เอาทุกสับเซตที่เราหามาไปใส่ในเซต
เอาเซตมาครอบก็จะได้
\(P(A)=\textcolor{red}{\{}\{\}\;,\;\{1\}\;,\;\{2\}\;,\;\{1,2\}\textcolor{red}{\}}\)
เพาเวอร์เซตคือ เซตของสับเซตทั้งหมด
\(P(\varnothing)\) คืออะไร
จำให้ขึ้นใจเลยว่าการหาเพาเวอร์เซตเนี่ย เราต้องหา สับเซตทั้งหมด ในกรณีนี้คือต้องหาสับเซตทั้งหมดของ \(\varnothing\)
ซึ่งก็มีแค่เซตว่าง (เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต) ดังนั้นเพาเวอร์เซตก็ให้น้องใส่ เซตคลุมสับเซตทั้งหมด ก็จะได้
\(\textcolor{red}{\{}\varnothing\textcolor{red}{\}}\) แปลว่า \(P(A)=\{\varnothing\}\)
จำนวนสมาชิกในเพาเวอร์เซต
บางคนอ่านสูตรข้างบนก็อาจจะงง ๆ หน่อย จำกันได้หรือเปล่ากับเรื่องสับเซตที่พี่พูดไปแล้วว่า จำนวนสับเซตทั้งหมด มี \(2^k\) ถ้า \(k\) คือจำนวนสมาชิกทั้งหมดของเซต \(A\)
กล่าวง่าย ๆ อีกอย่างนึงว่า \(n(A)=k\) ถูกไหมครับ
ใครลืมสัญลักษณ์สมาชิกกลับไปทวนได้ที่
บทการหาสมาชิก นะ
แสดงว่า จำนวนสับเซตทั้งหมดก็คือ \(2^{n(A)}\) นั่นเอง และจากที่พี่สอนไปข้างบนว่า เพาเวอร์เซต คือ เซตของสับเซตทั้งหมด
ดังนั้น เพาเวอร์เซตก็เลยมีจำนวนสมาชิกทั้งหมดเท่ากับจำนวนสับเซตทั้งหมด ซึ่งคือ
\(2^{n(A)}\) นั่นเอง พออ่านเสร็จลองกลับไปดูสูตรข้างบนกันดูนะครับ
สมบัติของเพาเวอร์เซต
ในส่วนถัดไปนี้ พี่อยากให้น้อง ๆ ดูทีละข้อแล้วคิดเองก่อนว่าทำไมมันถึงเป็นแบบนี้ หลังจากนั้นให้กดขยายข้อความ เพื่อดูคำอธิบายเพิ่มเติมกันครับ
ข้อนี้ก็ไม่มีอะไรถูกมั้ยเอ่ย เพราะเพาเวอร์เซตคือเซตของสับเซตทั้งหมด และเซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต ดังนั้น เซตว่างก็เป็นสมาชิกของ \(P(A)\)
\(\varnothing\subset P(A)\)
"เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต" ท่องให้ขึ้นใจ
เพราะ \(A\) เป็นสับเซตของตัวมันเอง (\(A\subset A\)) ดังนั้น \(A\) จึงเป็นสมาชิกของ \(P(A)\) ด้วย
\(A\subset B\) ก็ต่อเมื่อ \(P(A)\subset P(B)\)
ไอเดียคือทุกสับเซตของ \(A\) ก็เป็นสับเซตของ \(B\) ด้วยเช่นกัน เพราะ \(A\subset B\) ดังนั้น เพาเวอร์เซต (เซตของสับเซต) มันก็เลยเป็นสับเซตของกันและกันด้วย
\(P(A)\cap P(B)=P(A\cap B)\)
ใครยังเรียนไม่ถึง ตัวดำเนินการของเซต ข้ามไปก่อนได้นะ
สังเกตฝั่งซ้าย \(P(A)\cap P(B)\) เราหา สับเซตร่วม จาก (1) สับเซตของ \(A\) และ (2) สับเซตของ \(B\) สับเซตไหนที่เป็นสับเซตของทั้งคู่จึงนำมา
ที่นี้น้องสังเกตดูว่า สับเซตที่เป็นของทั้งสองเซต แปลว่า สมาชิกมันต้องอยู่ทั้งในสองเซต ถูกมั้ยเอ่ย เพราะถ้าไม่อยู่ มันจะไม่เป็นสับเซตทันที คีย์เวิร์ดคือที่ขีดเส้นใต้เลย มันแปลว่า
\(A\cap B\) ดังนั้นมันก็เหมือนกับการที่เราสามารถนำ \(A\) และ \(B\) มาหาสมาชิกร่วมก่อนและค่อยหาเพาเวอร์เซต
\(P(A)\cup P(B)\subset P(A\cup B)\)
ใครยังเรียนไม่ถึง ตัวดำเนินการของเซต ข้ามไปก่อนได้นะ
อันนี้ต้องระวัง มันจะไม่เหมือนข้อข้างบน พูดอย่างง่ายคือ สับเซตใน \(P(A)\) มันสามารถเลือกดึงสมาชิกมาได้จากแค่ใน \(A\) สับเซตใน \(P(B)\) ก็สามารถเลือกดึงสมาชิกมาได้จากแค่ใน \(B\) เช่นกัน
ดังนั้นมันจะ ไม่มีสับเซตไหนเลย ที่มีสมาชิกของทั้ง \(A\) และ \(B\) อยู่ในสับเซตตัวนั้นตัวเดียว (กรณีที่สมาชิกที่ดึงจาก \(A\) และ \(B\) ไม่ใช่ตัวเดียวกัน)
แต่หากพี่ยูเนี่ยนกันก่อน \((A\cup B)\) มันจะเปิดโอกาส มากขึ้น ให้สับเซตสามารถเลือกสมาชิกจากทั้งใน \(A\) และ \(B\) พร้อมกันได้ ดังนั้น สมการฝั่งขวาจึงใหญ่กว่า
ตัวอย่าง \(A=\{1\}\) และ \(B=\{2\}\) ไม่ว่าจะเป็นสับเซตใน \(P(A)\) หรือ \(P(B)\) ก็ตามแต่ เราไม่สามารถที่จะสร้าง \(\{1,2\}\) ได้เลย
เพราะ \(1\) กับ \(2\) อยู่คนละเซตกัน แต่หากเรานำ \(A\cup B\) จะได้ \(\{1,2\}\) ซึ่งเราสามารถมีสับเซต \(\{1,2\}\) ได้
หากบทความพี่เป็นประโยชน์ ฝากแชร์ต่อให้เพื่อนๆ ด้วยนะครับ :')
