สับเซต \(\subset\) กับทริคการเขียนแจกแจงสับเซตทั้งหมด


สับเซต ม.4
อ่าน 13,070 ครั้ง

อยากดูแบบวิดีโอ?

เข้าหาบทความพี่ง่ายๆ จาก Google

เซต ม.4
เซต ม.4

สับเซต คืออะไร

สับเซต (subset) อธิบายง่ายๆ มันก็มีความหมายเหมือนรากศัพท์ (sub-) เลยครับน้อง ๆ sub- แปลว่า ภายใต้ อะไรประมาณนี้ ดังนั้นคำว่า สับเซต ก็คือ เซตที่เป็นเซตย่อยภายใต้เซตใด ๆ นั่นเอง ส่วน สัญลักษณ์ที่ใช้ก็คือ \(\subset\) คล้ายๆ เกือกม้าตะแคง

ให้น้องจำกันง่าย ๆ ว่า เซตย่อย

อันนี้ขอนอกเรื่อง ใครเวลาว่างก็อ่านเล่นได้ 55555+ เห็นคำว่า “สับ” ใช่ไหมครับน้องๆ ในเรื่องนี้ เราจำมันง่าย ๆ เหมือนสับหมูบนเขียงก็ได้ ถ้าเราหยิบหมูมาหนึ่งก้อนใหญ่ แล้วเราเอามีดมาสับ มันเป็น ยังไงเอ่ย? ใช่แล้ว มันก็จะเล็กลงถูกไหมครับ แต่มันก็ยังเป็นหมูชิ้นเดิม แค่เราสับมันออกมาแค่บางส่วน เรื่องเซตนี้ก็เหมือนกัน สมมุติพี่มีเซต \(A = \{1, 2, 3, 9, 13\}\) พี่เอามาวางบนเขียงแล้วสับ

ตัวอย่าง สับเซต

เราก็จะได้สองเซต เซตแรก (ด้านซ้าย) \(B = \{1, 2, 3\}\) และเซตที่สอง (ด้านขวา) \(C = \{9, 13\}\) ซึ่งทั้ง \(B \subset A\) และ \(C \subset A\) นั่นเอง

ดังนั้น สรุปได้สั้นๆว่า เซต S ใดๆ จะเป็นสับเซตของเซต T ใดๆ ได้ก็ต่อเมื่อ ทุกๆ สมาชิกของ S นั้นเป็นสมาชิกของ T ด้วยเช่นกัน สังเกตกันหรือเปล่าครับว่าการที่เรานำเซตใหญ่มา “สับ” ออกมันก็เหมือนกับการที่เราได้เซตที่เล็กลง แต่ สมาชิกของเซตก็ยังคงเป็นสมาชิกที่เรานำมาจากเซตใหญ่นั่นเอง ดังนั้น สมาชิกทุกตัวในสับเซตก็เลยเป็นสมาชิกในเซตใหญ่ด้วย


ข้อควรจำเกี่ยวกับสับเซต (สมบัติของสับเซต)

\(A \subset A\) และ \(\varnothing \subset A\)

ข้อสังเกต: ตามนิยามในกรอบข้างบนนั้น เราถือว่าเซตทุกตัวเป็นสับเซตของตัวมันเอง นั่นก็คือ \(A \subset A\) เพราะสมาชิกทุกตัวใน \(A\) ก็ต้องอยู่ใน \(A\) และเราถือว่าเซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต \(\varnothing \subset A\) เมื่อ \(A\) เป็นเซตใดๆ ก็ตาม

มองภาพง่ายๆ กันแบบนี้ก็ได้ เมื่อกี้พี่ “สับ” เซตถ้าพี่เลื่อนตำแหน่งกรรไกรมาตรงนี้หล่ะ

ตัวอย่างสับเซต

พี่ถามว่าด้านซ้ายของกรรไกรมีอะไร? ก็มีหมูชิ้นเดิมที่ไม่ได้ถูกตัดใช่ไหมครับ และด้านขวาหล่ะ? ก็ไม่มีอะไรเลย (ว่างเปล่า) ดังนั้นมันเลยเป็นที่มาที่ว่า \(A \subset A\) และ \(\varnothing \subset A\) นั่นเอง (แบบภาษาบ้านๆ)


สับเซตแท้ คืออะไร

ไหนลองเดากันจากคำพูด “สับเซตแท้” กันดูสิ ว่ามันคืออะไร? มันก็คือ สับเซตที่แท้จริง นั่นเองน้อง ๆ บางคนยังมองไม่เห็นภาพว่า พี่คำว่าแท้จริง นี่มันหมายความว่ายังไง คำว่า แท้จริง ก็คือ มันเป็นสับเซต (เซตย่อย) จริง ๆ นะ ซึ่งมันก็หมายความว่า สับเซตแท้เนี่ย มันควรจะมีขนาด เล็กกว่า เซตตั้งต้นนั่นเองครับ

ดังนั้น เราเรียกสับเซตทุกอันของเซต \(A\) ใดๆ ที่ไม่ใช่ตัวมันเองว่า “สับเซตแท้” (\(A\) เป็นสับเซตของ \(A\) แต่ไม่ใช่สับเซตแท้ของ \(A\))


การเขียนแจกแจงสับเซตทั้งหมดของเซตใดๆ แบบมีหลักการ ไม่ลืมตัวไหนแน่นอน

คราวนี้เราลองมาดูว่าสมมุติเรามีเซต \(A\) ใด ๆ มา เราจะแจกแจงเขียนสับเซตของมันออกมาได้ทุกตัวอย่างไรได้บ้าง สมมติ เรากำหนดให้ \(A = \{1, 2, 3\}\) ให้เรามองแบบนี้ สมาชิกในเซต \(A\) มีกี่ตัว? \(n(A)\) = 3 ใครลืมวิธีการนับสมาชิกกลับไปดูบทก่อน ๆ ด่วนเลย

เพราะฉะนั้นเราจะไล่เขียนสับเซตเริ่ม ตั้งแต่สับเซตที่มีสมาชิก 0 ตัวไปต่อที่ 1 ตัว ไปเรื่อยๆ จนถึง 3 ตัว

0 ตัว : { }
สมาชิกศูนย์ตัว คือเซตว่าง (เป็นที่มาว่าทำไมเซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต)

1 ตัว : {1}, {2}, {3}
สมาชิกหนึ่งตัว เราก็ดูว่าถ้าหยิบมา 1 ตัวจาก A มีกรณีไหนเป็นไปได้บ้าง

2 ตัว : {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}
สมาชิกสองตัว เราก็ดูว่าถ้าหยิบมา 2 ตัวจาก A มีกรณีไหนเป็นไปได้บ้าง

3 ตัว : {1, 2, 3}
สมาชิกสามตัว เราก็ดูว่าถ้าหยิบมา 3 ตัวจาก A มีกรณีไหนเป็นไปได้บ้าง

ถ้า \(n(A) = k\) แล้วจำนวนสับเซตจะมีทั้งหมด \(2^k\) ตัว
อย่างข้อนี้ \(n(A)=3\) ดังนั้น สับเซตก็เลยมีทั้งหมด \(2^3=8\) ตัว ลองนับข้างบนกันดูสิ


การเช็คว่าเป็นสับเซตหรือไม่ (แถม)

คือพี่ไม่ได้บอกโดยละเอียดในหัวข้อก่อน ๆ ว่าการดูว่าเซตใด ๆ เป็นสับเซตของเซตใด ๆ ทำอย่างไร หัวข้อนี้เลยขออนุญาตแถมสั้น ๆ ว่าจะเช็คได้ยังไงบ้าง ก่อนอื่นจำนิยามสับเซตกันได้หรือเปล่าเอ่ย? เซต S ใดๆ จะเป็นสับเซตของเซต T ใดๆ ได้ก็ต่อเมื่อ ทุกๆ สมาชิกของ S นั้นเป็นสมาชิกของ T คีย์เวิร์ดที่พี่อยากเน้นคือ ทุกๆ สมาชิก ตรงนี้แหละน้อง การเช็คสมาชิก สมมติต้องการเช็คว่า \(B \subset A\) หรือเปล่า เราก็ ไล่ทุกสมาชิกใน \(B\) แล้วนำไปดูว่ามีอยู่ใน \(A\) มั้ย หากมีตัวไหนไม่อยู่ แสดงว่า \(B \not\subset A\) แต่หากอยู่หมดก็แสดงว่า \(B \subset A\)


แบบฝึกสมอง

แต่ละข้อจงหาว่า \(A\) เป็นสับเซตของ \(B\) หรือไม่

ข้อที่ 1.

\(A = \{2, 3, 4\}\) และ \(B = \{3, 4, 5\}\)

เฉลย

ข้อที่ 2.

\(A = \{3, 4\}\) และ \(B = \{4, 3, 6\}\)

เฉลย

ข้อที่ 3.

\(A = \{\}\) และ \(B = \{\}\)

เฉลย

ข้อที่ 4.

\(A = \{7, 5\}\) และ \(B = \{5, 7, 7, 5, 4\}\)

เฉลย

ข้อที่ 5.

\(A = \{5, 8\}\) และ \(B = \{8, \{5\}, 8\}\)

เฉลย

ข้อที่ 6.

\(A = \{\varnothing\}\) และ \(B = \varnothing\)

เฉลย

** หากน้องคนไหนสนใจโจทย์รวมเรื่อง สมาชิก สับเซต เพาเวอร์เซต ฉบับยากให้ดูที่วิดีโอสอนบนหน้านี้ได้เลยนะครับ

หากบทความพี่เป็นประโยชน์ ฝากแชร์ต่อให้เพื่อนๆ ด้วยนะครับ :')