การหาจำนวนสมาชิกของเซต | เซต ม.4


อ่าน 6,410 ครั้ง

อยากดูแบบวิดีโอ?

เข้าหาบทความพี่ง่ายๆ จาก Google

เซต ม.4
เซต ม.4

การหาจำนวนสมาชิกในเซต (ทั่วไป)

สัญลักษณ์ของเซตว่าง

สัญลักษณ์ของเซตว่าง

อย่างที่พี่ได้กล่าวไปแล้วในหัวข้อ เซตจำกัดกับเซตอนันต์ เรารู้กันอยู่แล้วถูกไหมครับ ว่าเซตอนันต์มีจำนวนไม่จำกัดหรือที่ เราเรียนกันว่า อินฟินิตี้ (\(\infty\)) กันนั่นแหละครับ เพราะฉะนั้นในหัวข้อนี้เราจะไม่สนใจมัน เพราะนับไปก็ไม่ได้อะไร เนื่องจากมันเป็นค่าอนันต์ (มากมายเหลือเกินจนนับไม่ได้) เราจะสนใจแต่ เซตจำกัด (finite set)

ก่อนอื่นเรามาแนะนำสมาชิกตัวใหม่ในบ้านเราก่อน นั่นก็คือเซตที่มีจำนวนสมาชิก 0 ตัว อย่าพึ่งงงไปกันครับน้อง เซตนี้ หน้าตาอย่างที่เราคิดกันไว้นั่นแหละครับ มันคือ { } แค่ปีกกาแต่ไม่มีอะไรข้างในเลยแม้แต่ตัวเดียว เราเรียกเซต { } ว่า เซตว่างซึ่งมีสัญลักษณ์การเขียนเซตว่างอีกรูปแบบหนึ่งคือ \(\varnothing\)

เซตว่าง = { } หรือ \(\varnothing\)

การถามหาจำนวนสมาชิกในเซตนั้นเราใช้ตัว \(n\) เป็นสัญลักษณ์อย่างเช่น \(n(A)\) คือ จำนวนสมาชิกในเซต \(A\) ดังนั้นกลับไปดู ในย่อหน้าที่แล้วกัน \(n(\{\;\})\) หรือ \(n(\varnothing)\) เท่ากับเท่าไหร่เอ่ย? ใช่แล้วครับน้อง ศูนย์ นั่นเองเนื่องจากมันไม่มีสมาชิก หรือก็คือมี สมาชิกทั้งหมดศูนย์ตัว \(n(\varnothing)\) = 0

เซตว่างเป็นเซตจำกัดหรือเซตอนันต์?

เฉลย

อีกตัวอย่าง หากเรากำหนดให้เซต \(A\) = {1, 2, 3, 4, 7, 7} ถามว่ามีจำนวนสมาชิกหรือ \(n(A)\) เนี่ยมีค่าเท่าไหร่ครับ เอ๊ เหมือนได้ยินอยู่ 2 คำตอบ บางคนตอบ 6 บางคนก็ตอบ 5 งั้นเรามาดูกันเลยดีกว่า สำหรับ คนที่ตอบ 6 ตัว ก็จะบอกพี่ว่าก็มันมี เลข 1, 2, 3, 4, 7 และก็ 7 ไงพี่ รวมเป็น 6 ตัว คำตอบนี้ผิด! ทำไมกันหล่ะ? ยังจำ คุณสมบัติเซต กันได้หรือเปล่าครับ ที่บอกว่า ไม่นับซ้ำ ในทีนี้เลข 7 ซ้ำเราก็จะไม่สนใจมันและลดตัดทอนมันเหลือแค่ตัว เดียวพอ \(A\) จึงเขียนใหม่ได้เป็น {1, 2, 3, 4, 7} ซึ่ง \(n(A)\) = 5 นั่นเอง

"ง่ายจังพี่ แล้วแบบที่ยากคือยังไงครับ?" ถ้ามันง่ายขนาดนี้เด็กคงทำกันได้ทั้งประเทศและแหละ ใช่ม้ะน้อง อยากรู้ว่าแบบยากนี่คือยังไง เลื่อนไปหัวข้อต่อไปกันเลย

ย้ำอีกที หลักการคือ เขียนเซตแบบ ตัดตัวซ้ำออก แล้วจึงนับดูว่ามีกี่ตัว


การหาจำนวนสมาชิกในเซตแบบยาก (เซตแจกแจงสมาชิก)

ลองดูตัวอย่างดังต่อไปนี้ครับ \(A=\{1, \{\}, \{2\}, \{\{3\}, 1\}\}\) เซตนี้เป็นแบบแจกแจงสมาชิกถูกไหมเอ่ย ไม่ใช่บอกเงื่อนไขนะ ใครแยกไม่ออกรีบกลับไปดู เนื้อหาพื้นฐาน ก่อนเลย 55555+

เธอเห็นวงเล็บนั่นไหม เยอะเสียเหลือเกิน เห็นยังน้อง ว่ามันมีความยากขึ้นมาอีกเสต็ปอย่างเห็นได้ชัดเลย แล้วทีนี้ถ้าเจอโจทย์แบบนี้หละ เรามีหลักการยังไงในการแก้? หลักการของเราคือ มองคู่วงเล็บให้ออกว่าวงเล็บไหนคู่วงเล็บไหน เพราะคู่วงเล็บ 1 คู่ = 1 เซต เดี๋ยวพี่จะทำสีให้น้องมองให้ง่ายขึ้น

จับคู่วงเล็บเพื่อหาจำนวนสมาชิกของเซต

พอเห็นสีกันแล้ว สังเกตกันหรือเปล่าว่ามีทั้งหมด 5 เซตด้วยกัน ในโจทย์ข้อนี้ (เพราะมี 5 สี: แดง ฟ้า เขียว ม่วง ส้ม) โจทย์จะถามเราว่า \(n(A)\) เท่ากับเท่าไหร่ แปลว่า "จำนวนสมาชิกในเซต \(A\)" ซึ่งก็คือเซต สีแดง ที่คลุมทุกอย่างอยู่ มีสมาชิกทั้งหมดกี่ตัวนั่นเอง

หลักการนะน้อง คือ การเขียนเซตเนี่ย เราจะใช้เครื่องหมายจุลภาค (,) ในการคั่นระหว่างตัวสมาชิก ดังนั้น เราจะดูตัวคั่นนี่แหละเพื่อหาคำตอบ แต่อย่าพึ่งรีบดีใจไปว่า แค่นับแล้วจบ น้องลองนับตามในภาพข้างบนดูครับ สังเกตว่า มี , อยู่ทั้งหมด 4 อันแปลว่า จำนวนสมาชิกคือ 5 อย่างนั้นหรอ? (การที่มี , คั่น 2 อัน แสดงว่ามี 3 สมาชิก {1, 2, 3} การที่มี , คั่น 3 อัน แสดงว่ามี 4 สมาชิก {1, 2, 3, 4})

จุลภาค \(n\) อันคั่นได้ \(n+1\) สมาชิก

คำตอบคือไม่ใช่ 5 ตัว เพราะเราไม่สามารถนับ เครื่องหมาย , ทั้งหมดและนำมาตอบได้ เพราะอะไร? ลองสังเกต เซตสีม่วง \(\{\{3\},1\}\) สังเกตว่า เครื่องหมายจุลภาคที่กั้นนั้นมันกั้นสมาชิกใน เซตสีม่วง แต่ไม่ได้กั้นสมาชิกในเซตสีแดง (เซต \(A\)) แสดงว่า จุลภาค อันนี้ ไม่ควรเอามานับด้วย เพราะฉะนั้น น้องต้องมองให้ออกว่า จุลภาคอันไหนบ้างที่กั้นสมาชิก ของเซต \(A\) อยู่นั่นเอง

แสดงว่าหลักการการหาจำนวนสมาชิกคือ (1) จับคู่วงเล็บให้ได้ (2) นับแค่เครื่องหมาย , ที่กั้นสมาชิกของเซตใหญ่ (ในตัวอย่างคือเซต \(A\)) ของเรา เมื่อได้มาแล้ว ก็จับไปบวก 1 (จุลภาค \(n\) ตัวคั่นได้ \(n+1\) สมาชิก) ส่วนคำถามต่อไปคือ แล้วเราจะจับคู่วงเล็บได้ยังไง สำหรับคนที่ไม่เคยทำมาก่อน หลักการคือ นำวงเล็บนอกสุดออกไปก่อน (ในตัวอย่างคือวงเล็บสีแดง) แล้วไล่จากซ้ายไปขวา และใช้วิธีการ +1 -1 เมื่อเราเจอ วงเล็บเปิดให้ +1 ส่วนวงเล็บปิดให้ -1 แล้วถ้ามันเป็นศูนย์เมื่อไหร่แสดงว่าเจอคู่ แนะนำให้ดูวิดีโอด้านบนเพิ่มเติมสำหรับรายละเอียดและตัวอย่างการหาคู่วงเล็บครับ

ข้อควรระวัง!

  • อย่าลืมว่าเซตเราไม่นับตัวซ้ำ เพราะฉะนั้นอย่าลืมเช็คด้วยว่า มีสมาชิกไหนซ้ำกันหรือไม่ หากซ้ำให้ตัดออกเหลือเพียงตัวเดียว
  • เซตว่างเขียนได้สองแบบ { } หรือ \(\varnothing\) ดังนั้นหากเจอทั้งคู่ แสดงว่าเป็นสมาชิกตัวเดียวกัน ตัดออกได้
  • แต่! {} กับ {{}} ไม่ใช่ตัวเดียวกัน {} คือเซตว่าง มีสมาชิก 0 ตัว แต่ {{}} คือ เซตที่มีเซตว่างอยู่ข้างใน เป็นสมาชิกอีกที ดังนั้น {{}} มีสมาชิก 1 ตัวคือ เซตว่าง

จำไว้ให้ขึ้นใจ \(\{\varnothing\}\) ไม่ใช่เซตว่าง แต่เป็นเซตที่มีเซตว่างเป็นสมาชิก (เลยมีจำนวนสมาชิก = 1 ตัว)


การหาจำนวนสมาชิกในเซตแบบยาก (เซตบอกเงื่อนไข)

การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขนี่เจอบ่อยมากในข้อสอบ เพราะว่าโจทย์มัน พลิกแพลงได้เยอะมากๆ เพราะอะไร? เพราะเงื่อนไขสามารถเป็นอะไรก็ได้ เช่น \(A=\{x\in I\,|\,|2x-9|\leq 11\}\) (PAT1'ตุลา 55) สังเกตไหมเอ่ยว่า การหาว่ามีสมาชิกกี่ตัวใน \(A\) นั้น ไม่ค่อยจะเกี่ยวกับเซตมากเท่าไหร่เลย มันคือการแก้อสมการซะมากกว่าด้วยซ้ำไป

ใช่แล้วน้องเรื่องการหาจำนวนสมาชิกของเซตแบบบอกเงื่อนไขนั้น ส่วนมากจะใช้ความรู้คณิตฯ ในบทอื่นๆ มาแก้เสียมากกว่า น้องต้องหาให้ได้ว่า มีสมาชิกเป็นใครบ้างตามเงื่อนไขที่โจทย์บอกมา เช่น หากโจทย์ให้ \(B=\{x\,|\,x^2=25\}\) น้องก็ต้องแก้สมการและจะทราบว่า \(5^2=25\) และก็ \(-5^2=25\) แสดงว่า \(B=\{5,-5\}\) ดังนั้น สมาชิกก็มีสองตัวนั่นเองครับ


สูตรจำนวนสมาชิกของเซต (แถม)

อันนี้พี่บอกว่าแถมเพราะหากน้องยังเรียนไม่ถึงบทตัวดำเนินการของเซต สามารถไปทำความเข้าใจก่อนและค่อยกลับมาอ่านตรงนี้นะ

  • \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)\)\(\,-\,n(A\cap B)\)
  • \(n(A\cup B\cup C)\)\(\,=n(A)+n(B)+n(C)\)\(\,-\,n(A\cap B)-n(A\cap C)\)\(\,-\,n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)\)

ที่มาของสูตรอันนี้ก็ไม่ยาก ให้น้องลองนึกถึงแผนภาพเวนน์ฯ จะมองเห็นภาพง่ายมากขึ้น หลักการมันคือ บวกคี่ลบคู่ อย่างเช่น \(n(A\cup B\cup C)\) เริ่มจาก บวกทีละ 1 ตัวก่อน \(+n(A)+n(B)+n(C)\) จากนั้น ลบทีละ 2 ตัว \(-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)\) และก็ บวกทีละ 3 ตัว \(+n(A\cap B\cap C)\)

ลองหา \(n(A\cup B\cup C\cup D)\)

เฉลย


แบบฝึกสมอง จงหาจำนวนสมาชิกของเซตต่อไปนี้ (เรียงง่ายไปยาก)

ข้อที่ 1.

กำหนดให้ \(A = \{2, 4, -2\}\)

เฉลย

ข้อที่ 2.

กำหนดให้ \(A = \{x\,|\,\) เป็นจำนวนนับที่น้อยกว่า 10\(\}\)

เฉลย

ข้อที่ 3.

กำหนดให้ \(A = \{4, 5, 1, 2, 3, 4, \sqrt{25}\}\)

เฉลย

ข้อที่ 4.

กำหนดให้ \(A = \{5,7,4,4,4.00,4.0\}\)

เฉลย

ข้อที่ 5.

กำหนดให้ \(A = \{\{5,6,7\},\{1,2\},3\}\)

เฉลย

ข้อที่ 6.

กำหนดให้ \(A = \{\{\},\varnothing,\{\{\},\varnothing\}\}\)

เฉลย

ข้อที่ 7.

กำหนดให้ \(A = \{\{2,\{3\}\},\{\{3\},2,2\},2,\{3\}\}\)

เฉลย

ข้อที่ 8.

กำหนดให้ \(A = \{1,\{1\},\{\{1\}\}\}\)

เฉลย

ข้อที่ 9.

กำหนดให้ \(A = \{\{1,2,3,4,...\}\}\)

เฉลย

หากสนใจวิธีการหาสมาชิกแบบละเอียด สามารถดู วิดีโอการหาสมาชิกของเซต กันได้เลยนะน้องๆ

หากบทความพี่เป็นประโยชน์ ฝากแชร์ต่อให้เพื่อนๆ ด้วยนะครับ :')