การดําเนินการระหว่างเซต \(\;\cap\;,\;\cup\;,\;-\;,\;^{\prime}\)


อ่าน 5,709 ครั้ง

อยากดูแบบวิดีโอ?

เข้าหาบทความพี่ง่ายๆ จาก Google

เซต ม.4
เซต ม.4

เกริ่นนำ

ขอเกริ่นคร่าว ๆ กันก่อนและกันครับน้อง ๆ ว่า ไอ้การดำเนินการระหว่างเซตเนี่ย มันคืออะไร ลองนึกภาพตามพี่ สมมติเรามีตัวเลข 2 ตัวเลข เลข 5 กับ 10 การที่น้อง ๆ นำ 5 + 10 ได้ผลลัพธ์ 15 หรือ 5 x 10 ได้ 50 อะไรก็ตามแต่ เครื่องหมาย + x อะไรพวกนี้นี่แหละที่เราเรียกว่า ตัวดำเนินการ แต่จากตัวอย่างด้านบนมันคือ ตัวดำเนินการระหว่างตัวเลข ถูกมั้ย

ดังนั้น การดำเนินการระหว่างเซต ก็จะเป็น เครื่องหมายการกระทำ ที่เรานำเซต 2 เซต มากระทำกัน และผลลัพธ์ก็ได้เป็น เซตใหม่ นั่นเอง ทีนี้เราไปดูกันเลยครับว่า ตัวดำเนินการทางเซต มีอะไรกันบ้าง


อินเตอร์เซค (Intersect) "และ" \(\cap\)

เครื่องหมายนี้ \(\cap\) เรียกบ้าน ๆ ว่า "และ"

สมมติพี่มี เซต \(A\) กับเซต \(B\) หากพี่ต้องการนำมาอินเตอร์เซคกัน \(A\cap B\) มันหมายความว่าพี่จะได้ผลลัพธ์เป็นเซตใหม่ที่ สมาชิกอยู่ทั้งใน \(A\) และ ใน \(B\) บางคนอาจจะเรียกว่ามันคือการดึงเอา สมาชิกร่วม เพื่อให้เห็นภาพมากยิ่งขึ้น ตัวอย่าง \(A=\{1,2,\textcolor{red}{3}\}\) และ \(B=\{\textcolor{red}{3},4,5\}\) น้อง ๆ จะสังเกตเห็นว่า สมาชิกร่วม มีแค่เลข 3 เท่านั้น ที่อยู่ทั้งในเซต \(A\) และเซต \(B\) ดังนั้น \(A\cap B = \{\textcolor{red}{3}\}\)

ระวัง! คำตอบของตัวดำเนินการยังเป็นเซตอยู่นะ สังเกตว่าพี่ยังใส่ { และ } ครอบเลข 3 อยู่ในตัวอย่างด้านบน แปลว่าผลลัพธ์คือ เซตที่มี 3 เป็นสมาชิก

กำหนดให้ \(A=\{\{\}, 1, \{2,3\}\}\) และ \(B=\{1,\{\{\}\}\}\) จงหา \(A\cap B\)

เฉลย

อินเตอร์เซค

หากพูดถึงแผนภาพเวนน์แล้วหล่ะก็ ไม่ยากเลยเพราะส่วนที่เราต้องการก็คือส่วนที่ อยู่ทั้งใน \(A\) และ \(B\) ลองดูตัวอย่างแบบต่าง ๆ ตามภาพด้านบนเพื่อความเข้าใจที่มากขึ้นได้เลยครับ


ยูเนี่ยน (Union) "หรือ" \(\cup\)

เครื่องหมายนี้ \(\cup\) เรียกบ้าน ๆ ว่า "หรือ"

เช่นเคยครับน้อง ๆ สมมติพี่มี เซต \(A\) กับเซต \(B\) หากพี่ต้องการนำมายูเนี่ยนกัน \(A\cup B\) มันหมายความว่าพี่จะได้ผลลัพธ์เป็นเซตใหม่ที่ สมาชิกอยู่ใน \(A\) หรือ ใน \(B\) บางคนอาจจะเรียกว่ามันคือการดึงเอา สมาชิกทั้งหมดมารวมกัน เพื่อให้เห็นภาพมากยิ่งขึ้น ตัวอย่าง เซตเดิมกับอันที่แล้ว \(A=\{1,2,3\}\) และ \(B=\{3,4,5\}\) น้อง ๆ จะสังเกตเห็นว่า หากเรานำสมาชิกมารวมกันทั้งหมด ก็จะมี 1 2 3 3 4 5 ซึ่งปกติแล้วเรื่องเซต หากเจอตัวซ้ำ (ในกรณีนี้ เลข 3) เราก็จะนับแค่ตัวเดียว ดังนั้น \(A\cup B = \{1,2,3,4,5\}\)

ยูเนียน

หลักการก็คือเอาสมาชิกมารวมกัน ก็คือการที่ไม่ว่าสมาชิกจะ (1) อยู่แค่ใน \(A\) (2) อยู่แค่ใน \(B\) หรือ (3) อยู่ทั้งใน \(A\) และ \(B\) ก็เอามาหมดเลย


ผลต่าง (Difference) "ลบ" \(-\)

เครื่องหมายนี้ทำงานเหมือนกับ "การลบ" เลย ง่ายๆ ให้นึกถึงเครื่องหมายลบเลข สมมติเรามี 5 - 2 สิ่งที่เราต้องทำก็คือ นำ 5 ตั้งต้น และหักออกไปสอง ไอเดียเรื่องเซตก็เหมือนกันเลย คือถ้าเรามี \(A-B\) เราก็จะนำเซต \(A\) ตั้งต้น จากนั้น หักส่วนที่อยู่ใน \(B\) ออก ตรงไหนของ \(A\) ที่อยู่ใน \(B\) เราก็จะลบออก

น้องๆ สามารถจำได้ง่ายๆ ว่า \(A-B\) = อยู่ใน \(A\) แต่ไม่อยู่ \(B\)

ผลต่าง

ทั้งหมดที่แรเงาด้านบน หากน้องๆ สังเกต มันคือบริเวณที่อยู่ใน \(A\) แต่ไม่อยู่ใน \(B\) ทั้งหมดเลย

วิธีการหา \(A-B\) ที่แนะนำ คือ ให้ไล่เช็คสมาชิกที่อยู่ใน \(A\) หากตัวไหนอยู่ใน \(B\) เราจะตัดมันออก ตัวอย่าง กำหนดให้ \(A=\{1,2,3,4\}\) และ \(B=\{3,5\}\) หากต้องการหา \(A-B\) ให้น้องๆ ไล่ทุกตัวใน \(A\) จะสังเกตว่า มีแค่ 3 เท่านั้นที่อยู่ใน \(B\) ด้วยดังนั้นเราต้องตัด 3 ออกจาก \(A\) คำตอบจึงเป็น \(\{1,2,4\}\)

จริงหรือเท็จ? หาก \(A-B=\varnothing\) แล้ว \(A=B\)

เฉลย


คอมพลีเมนต์ \(\prime\)

เครื่องหมายนี้คือการเอาตรงข้ามกับสิ่งที่มีอยู่ สมมติ \(A^{\prime}\) ก็หมายความว่าเอาที่ไม่อยู่ใน \(A\)

การถามหาคอมพลีเมนต์เราสามารถใช้สัญลักษณ์ได้สองแบบ อย่างแรกคือ \(A^{\prime}\) อีกอันคือ \(A^{c}\) หลักการหาง่ายๆ ให้เราใช้ไอเดียของ ผลต่าง จากหัวข้อที่แล้ว การที่เราบอกว่า \(A^{\prime}\) นั่นหมายความว่า เราเอาสมาชิกที่ไม่อยู่ใน \(A\) ถ้าเรามองออกก็จบ แต่ถ้าคิดแบบง่ายๆ ก็คือการที่เรานำ \(\mathbb{U}-A\) นั่นเองครับน้องๆ เรานำเอกภพสัมพัทธ์ตั้งต้น และลบทุกอย่างใน \(A\) ออกก็ได้เหลือ สิ่งที่ไม่อยู่ใน \(A\)

คอมพลีเมนต์

กำหนดให้ \(\mathbb{U}=\{1,2,3,4,5\}\) และ \(A\) เป็นเซตของจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 1 ถึง 5 จงหา \(A^{c}\)

เฉลย


ฝึกแรเงาแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ จากสมการตัวดำเนินการของเซต

หัวข้อนี้จะเป็นการฝึกแรเงาตามสมการตัวดำเนินการหลายๆ ตัวมารวมกันเช่น \((A\cap B)^{\prime}\) หรือ \(A^{\prime}-B\) อะไรแบบนี้ ซึ่งพี่จะขอรวมหัวข้อนี้รวมกับวิดีโอสอนฝึกแรเงา (นาทีที่ 11) ด้านบนไปเลยนะ เนื่องจาก น้องๆ จะสามารถเข้าใจได้ง่ายมากขึ้น หากใช้คำพูดและแอนิเมชั่นเข้ามาช่วย แต่หากให้พูดเกริ่นๆ ก่อนก็คือ เรามีสองวิธี (1) ค่อยๆ แรเงาทีละส่วนของสมการและนำมารวมกันจนเสร็จ (2) เขียนแผนภาพเวนน์ฯ ออกเป็นเซตซึ่งประกอบไปด้วย regions ไหนบ้างและจากนั้น แก้สมการโดยการใช้เซตแทนการระบายสี เมื่อเสร็จค่อยนำคำตอบไปแรเงา

หากบทความพี่เป็นประโยชน์ ฝากแชร์ต่อให้เพื่อนๆ ด้วยนะครับ :')