แผนภาพเวนน์ ออยเลอร์ ฉบับเซียนเลขเข้าใจง่ายมาก


อ่าน 2,944 ครั้ง

อยากดูแบบวิดีโอ?

เข้าหาบทความพี่ง่ายๆ จาก Google

เซต ม.4
เซต ม.4

แผนภาพเวนน์ ออยเลอร์ คืออะไร?

แผนภาพเวนน์ ออยเลอร์ คือ การเขียนแทนเซตด้วยแผนภาพนั่นเอง ปกติเราจะเขียนเป็นแบบ "\(A=\{1,2,3\}\)" เราก็สามารถที่จะเขียนเซต \(A\) เป็นแบบภาพ เพื่อให้มองง่ายขึ้นได้เหมือนกัน ดังรูปข้างล่างเลย (เพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้น สมมติว่า \(\mathbb{U}=\{1,2,3,4,5\}\))

แผนภาพเวนน์ออยเลอร์

\(\mathbb{U}\) = เอกภพสัมพัทธ์

น้อง ๆ จะสังเกตว่า ในวงกลม \(A\) มีเลข 1, 2, และ 3 อยู่ก็หมายความว่า 1, 2, และ 3 \(\in A\) (เป็นสมาชิกของเซต A) ส่วนตัวที่อยู่นอกวงกลม \(A\) ก็คือ ตัวที่อยู่ใน เอกภพสัมพัทธ์ หรือ ขอบเขตที่เราสนใจ แต่ไม่ได้อยู่ในเซต \(A\) นั่นเอง

จริง ๆ แผนภาพเวนน์ฯ สามารถเขียนเป็นรูปทรงปิดอะไรก็ได้เลย
แต่ส่วนมาก 99.99% มักนิยมเขียน
เซตเป็นวงกลม และก็ เอกภพสัมพัทธ์เป็นสี่เหลี่ยม


ตีความแผนภาพเวนน์ฯ แบบต่าง ๆ

ไอเดียคือต้องมองให้ออกว่า "แต่ละบริเวณมีความหมายว่าอย่างไร"

บทความนี้ พี่จะยังไม่เข้าลึกไปถึงการเขียนแผนภาพเวนน์ฯ กับตัวดำเนินการทางเซต \(\;\cap\;,\;\cup\;,\;-\;,\;^{\prime}\) จะไว้กล่าวทีเดียวในบทต่อไป ส่วนบทความนี้ เราจะเน้นการมองแผนภาพเวนน์ ให้ออกว่า ถ้ามีเซต \(A,B,C,\dots\) เราสามารถนำทุกเซตมาเขียนในแผนภาพเวนน์ 1 ภาพ ได้ยังไงกันบ้าง

แบบที่ 1 กรณีมี 1 เซต

แผนภาพเวนน์ออยเลอร์แบบ 1 เซต

กรณีนี้ก็จะเหมือนในตัวอย่างด้านบนเลย ต่อไปนี้พี่จะขอแทนว่า "Region" (ย่อด้วยตัว 'R') มาจากคำว่าบริเวณนะ คล้าย ๆ กับการแบ่งเขตจังหวัดอะไรประมาณนั้น หากน้องสังเกตรูปด้านบน เราจะเห็นว่ามันมีทั้งหมด 2 Regions ด้วยกัน ได้แก่ R1 และ R2 การตีความหมายของแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ก็ไม่ยากเลยครับ ส่วนไหนอยู่ในเซตไหนก็แสดงว่ามันเป็นสมาชิกของเซตนั้นนั่นเอง ลองสังเกตแยกพื้นที่กันดูนะ

พื้นที่สีฟ้า (R2) มันอยู่ในวงกลม \(A\) และก็อยู่ในสี่เหลี่ยม \(\mathbb{U}\) ด้วยถูกมั้ยเอ่ย แสดงว่าพื้นที่ R2 นี้คือสมาชิกทั้งหมดที่ อยู่ใน \(A\) และก็อยู่ใน \(\mathbb{U}\) ด้วย (ซึ่งอันนี้มันก็แน่นอนอยู่แล้ว เพราะสมาชิกทุกตัวต้องอยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ หรือ ขอบเขตที่เราสนใจนั่นเอง ดังนั้น จากนี้ไปเราจะไม่พูดถึง \(\mathbb{U}\) อีก)

พื้นที่สีม่วง (R1) มันไม่อยู่ในวงกลม \(A\) แปลว่าเป็นสมาชิกทั้งหมดที่ ไม่ได้อยู่ใน \(A\) นั่นเอง

ลองย้อนกลับไปดูรูปตัวอย่างบนสุดของบทความนี้ แล้วเช็คดูสิครับว่ามันใช่ตามที่บอกกันหรือเปล่า...

แบบที่ 2 กรณีมี 2 เซต

แผนภาพเวนน์ออยเลอร์แบบ 2 เซต

พื้นที่สีม่วง (R1) ไม่อยู่ในวงกลมไหนเลย แสดงว่าเป็นสมาชิกที่อยู่ในขอบเขตที่สนใจ (\(\in \mathbb{U}\)) แต่ \(\notin A\) และ \(\notin B\)

พื้นที่สีฟ้า (R2) อยู่ในวงกลม A แค่อันเดียว ไม่ได้อยู่ในวงกลม B แปลว่า \(\in A\) แต่ \(\notin B\)

พื้นที่สีเขียว (R3) อยู่ในวงกลม B แค่อันเดียว ไม่ได้อยู่ในวงกลม A แปลว่า \(\notin A\) แต่ \(\in B\)

พื้นที่สีเหลือง (R4) อยู่ในวงกลมทั้งคู่! แสดงว่า \(\in A\) และ \(\in B\)

แถม: ถ้าถามว่าทำไมรูปถึงเป็นแบบนี้ ทำไมสองวงกลมถึงต้องมีส่วนที่ทับซ้อนกัน? ลองคิดตามดูนะถ้าพี่มี \(3\in A\) และ \(3\in B\) ด้วย หากพี่เขียนวงกลมแยกกัน พี่จะเอา 3 ไปไว้ส่วนไหนถูกม้ะ เพราะเราแยกร่าง 3 ไม่ได้ เลข 3 มันต้องไปอยู่ Region ที่อยู่ทั้งในวงกลม \(A\) และก็ \(B\) ด้วย ดังนั้นมันก็คือ R4 ตามภาพข้างบนนั่นเอง ถ้าไม่มี R4 เราก็จะไม่มีทางนำ 3 ไปใส่ให้อยู่ในทั้งสองวงกลมได้

ทำไมต้องเขียนเซตทับซ้อนกัน

แบบที่ 3 กรณีมี 3 เซต (อันนี้คือแบบสุดท้าย ถ้า > 3 ส่วนมากจะไม่นิยมเขียนแผนภาพเวนน์ เนื่องจากพื้นที่ทับซ้อนจะมองเป็นภาพยากมาก)

แผนภาพเวนน์ออยเลอร์แบบ 3 เซต

ไม่รู้ว่าน้องๆ ยุคนี้คุ้นเคยกันตราแบบนี้หรือเปล่า มันคือตราเดียวกันกับช่อง 7 สีเลย (สมัยนี้ช่องทีวีดิจิตอลเยอะเกิน แต่ก่อนมันมีให้ดูแค่ 6 ช่องอะ คือยังไงก็ต้องมีเปิดมาช่อง 7 55555+) สังเกตว่าเราจะมีทั้งหมด 7 Regions ถ้าไม่รวม R1 ที่อยู่ข้างนอกทุกวงกลม

พื้นที่สีม่วง (R1) เหมือนเดิมไม่อยู่ในวงกลมไหนเลย \(\notin A,\notin B, \notin C\)

พื้นที่สีฟ้า (R2) \(\in A, \notin B, \notin C\)

พื้นที่สีเขียว (R3) \(\in B, \notin A, \notin C\)

พื้นที่สีเหลือง (R4) \(\in C, \notin A, \notin C\)

พื้นที่สีเแดง(R5) ลองมองดีๆ น้องจะเห็นว่า R5 อยู่ในวงกลม A และ C แต่ไม่อยู่ใน B ดังนั้น \(\in A, \in C, \notin B\)

ลองทำ R6, R7, R8 เองนะ

R6

เฉลย

R7

เฉลย

R8

เฉลย


แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์แบบแปลกๆ ไม่เหมือนปกติ

ไม่จำเป็นว่ารูปแบบการทับซ้อนต้องเหมือนกับที่แสดงให้ดูในหัวข้อที่แล้วเสมอไป!

ภาพด้านล่างนี้คือการที่ เซต \(A\) และ \(B\) ไม่มีสมาชิกร่วมกันเลยนั่นเอง จำที่เคยบอกไปข้างบนได้กันไหมเอ่ย ว่าถ้าสองเซตนี้มันมีสมาชิกร่วม เราต้องเขียนมันทับซ้อนกัน เพื่อที่จะสร้าง Region ใหม่ (R4 ในตย.ข้างบน) เพื่อให้เป็น Region ที่อยู่ทั้งใน \(A\) และ \(B\) แต่ถ้าเขียนแยกแบบนี้แสดงว่าสองเซตนี้ไม่มีสมาชิกร่วมกันนั่นเอง

แผนภาพเวนน์ออยเลอร์แบบไม่มีสมาชิกร่วม

ไม่มีสมาชิกร่วม

ด้านล่างอันนี้ก็ไม่ยาก สังเกตมั้ยว่า วงกลม \(A\) อยู่ข้างในวงกลม \(B\) ทั้งหมดเลย มันหมายความว่า สมาชิกในวงกลม \(A\) (\(\in A\)) ก็อยู่ในวงกลม \(B\) ด้วย (\(\in B\)) แปลว่า สมาชิกทุกตัวของ \(A\) เป็นสมาชิกของ \(B\) ด้วยเช่นกัน คุ้นๆ ประโยคนี้กันหรือเปล่าเอ่ย ใช่แล้ว! มันคือประโยคในเรื่อง สับเซต งั้นก็แปลว่า \(A\subset B\)

แผนภาพเวนน์ออยเลอร์แบบสับเซต

สับเซต

หากบทความพี่เป็นประโยชน์ ฝากแชร์ต่อให้เพื่อนๆ ด้วยนะครับ :')