กฎของไซน์และโคไซน์ ม.5


อ่าน 392 ครั้ง

เลือกอ่านตามหัวข้อ?

อยากดูแบบวิดีโอ?

เข้าหาบทความพี่ง่ายๆ จาก Google

ตรีโกณมิติ ม.5
ตรีโกณมิติ ม.5

กฎของไซน์ (The Law of Sines)

เดินทางมาถึงเรื่องสุดท้ายท้ายสุดในตรีโกณมิติ ม.5 ซึ่ง เป็นเรื่องที่สูตรไม่เยอะ และค่อนข้างง่าย ดังนั้นไปเริ่มกันเลยครับ

กฎของไซน์กับกฎของโคไซน์นั้นให้น้องจำไว้เลยว่า เกี่ยวกับสามเหลี่ยม ซึ่งใน ม.3 เราเรียนเรื่องสามเหลี่ยมมุมฉาก กันไปแล้วในตรีโกณมิติ ม.3 พอมา ม.5 ก็ไม่ได้เซอร์ไพร์สอะไรมาก โดยเราจะใช้ กฎของไซน์และโคไซน์ กับ สามเหลี่ยมใด ๆ (แปลว่าไม่ต้องเป็นมุมฉากก็ใช้ได้นะ)

รูปสามเหลี่ยมในกฎของไซน์และกฎของโคไซน์ ตามมาตรฐานเลยจะเป็นดังรูปด้านล่างนี้ คือ สามเหลี่ยม \(ABC\) โดยที่ด้านตรงข้ามมุมไหนก็จะใช้ความยาวด้านเป็นอักษรนั้น (แต่ใช้ตัวพิมพ์เล็ก) เช่น ตรงข้ามมุม \(A\) คือ ด้านที่ความยาว \(a\) เป็นต้น

กฎของไซน์ ตรีโกณมิติ ม.5

\(\dfrac{\sin{A}}{a}=\dfrac{\sin{B}}{b}=\dfrac{\sin{C}}{c}\)


กฎของโคไซน์ (The Law of Cosines)

เรื่องนี้ให้น้องนึกถึงสามเหลี่ยมพีทาโกรัสที่เราเคยเรียนตอน ม.2 พี่ขอเรียกมันว่า พีทาโกรัสแอดวานซ์ และกัน เพราะสูตรมันล้อกันมาเลย แต่ใน พีทาโกรัสเราเรียนกันว่า มันจะเวิร์คก็ต่อเมื่อเป็น สามเหลี่ยมมุมฉาก

ดังนั้น พี่ว่าน้องพอจะเดาออกกันและ กฎของโคไซน์คือสูตรที่ใช้ได้กับ สามเหลี่ยมทุกรูปแบบ ไม่ว่าจะมุมไหน ใด ๆ ก็ตาม ด้านล่างคือสูตรพีทาโกรัสตอน ม.2

\(c^2=a^2+b^2\)

ให้น้องสังเกตรูปสองอันนี้ให้ดี ๆ และสูตรมันจะเหมือนเดิมแค่เพิ่มพจน์ท้ายมา ดังนี้

กฎของโคไซน์ ตรีโกณมิติ ม.5

\(c^2=a^2+b^2\textcolor{blue}{-2ab\cos{C}}\)

จุดที่แตกต่างกันก็คือ มุม C มุมระหว่างด้านประกอบ \(a\) กับ \(b\) ที่เรานำมาคิดจะมีส่วนเกี่ยวข้อง จริง ๆ หากน้องย้อนอดีตไปตอนม.2 สมการพีทาโกรัส คือสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้นมุม C คือ 90 องศา (มุมฉาก) แต่ \(\cos{90^\circ}=0\) แปลว่า พจน์ \(\textcolor{blue}{-2ab\cos{C}}\) ก็เลยหายไป เอาจริง ๆ มันคือสูตรเดียวกันแหละ แต่กฎของโคไซน์ มีความ "Generalize" หรือในเชิงทั่วไป มากกว่า ก็คือใช้ได้กับสามเหลี่ยมทุกรูปนั่นเองครับ

ในเมื่อมันใช้กับมุมใด ๆ ก็ได้ แปลว่า เราก็สามารถใช้สูตรกับมุม A และมุม B ได้เช่นกัน ดังนี้ (มีสามสูตรที่จริง ๆ ไม่ต้องจำแยก น้องสามารถใช้หลักการเดียวกับ พีทาโกรัสในการจำได้เลย)

\(c^2=a^2+b^2\textcolor{blue}{-2ab\cos{C}}\)

\(b^2=a^2+c^2\textcolor{blue}{-2ac\cos{B}}\)

\(a^2=b^2+c^2\textcolor{blue}{-2bc\cos{A}}\)

เรื่องนี้สูตรง่าย และโจทย์ก็ออกได้ค่อนข้างหลากหลายดังนั้นพี่จะสอนโจทย์ในวิดีโอไปเลยทีเดียว ใครสนใจก็จิ้มที่วิดีโอข้างบนหน้านี้ได้เลยนะครับ

หากบทความพี่เป็นประโยชน์ ฝากแชร์ต่อให้เพื่อนๆ ด้วยนะครับ :')