สมการค่าสัมบูรณ์ - จำนวนจริง ม.4


อ่าน 442 ครั้ง

อยากดูแบบวิดีโอ? (อยู่ระหว่างการจัดทำคลิป)

เกริ่นค่าสัมบูรณ์ (Absolute)

เราเรียนไปแล้วตอน ม.1 ว่า ค่าสัมบูรณ์คือการทำให้เป็นบวก แต่เรายังไม่ค่อยได้นำไปใช้อะไรมาก คือบทนี้เราจะมาดูว่า ไอ้เจ้าตัว ค่าสัมบูรณ์ ถ้ามันไปอยู่กับ สมการและอสมการ โดยเราจะเรียกว่า สมการค่าสัมบูรณ์ และ อสมการค่าสัมบูรณ์ มันจะต้องแก้สมการและอสมการยังไงให้เป็นระบบ (อสมการค่าสมบูรณ์ พี่ยกไปบทต่อไปนะ) ก่อนอื่นขอเกริ่น ทฤษฎีบท คร่าว ๆ ในแต่ละข้อพี่ไม่อยากไว้น้องจำเลย แต่ให้น้องดูทีละอัน และพยายามคุยกับตัวเองว่า เราสามารถเข้าใจมัน แบบมันเมคเซ้นต์กับเราหรือเปล่า

เริ่มต้นด้วยบทนิยามของค่าสัมบูรณ์

\(\require{cancel}\begin{aligned} |a|=\begin{cases} \displaystyle a\;\;\;\;\;\,,\;\; a\ge 0\\ -a\;\;\;,\;\; a\lt 0 \end{cases} \end{aligned}\)

ห้ามจำนะ ข้างบนเป็นการเขียนที่แปลว่า ทำให้เป็นบวกนะ ลองดูเคสบน \(a\ge 0\) ก็แปลว่า \(a\) เป็นบวกอยู่แล้ว ก็เลยตอบ \(a\) ส่วนเคสล่าง เมื่อ \(a\lt 0\) แปลว่า ถ้า \(a\) ติดลบ เราต้องตอบเป็นบวกถูกไหม เราเลยใส่ลบไปให้มัน เช่น \(a=-5\) เราจะใส่ \(-(-5)\) หรือ \(-a\) นั่นเอง ลบเจอลบเป็นบวก ก็กลายเป็น \(5\) เห็นไหมว่ามันไม่ต้องจำ

\(\require{cancel}\begin{aligned} |x|=|-x| \end{aligned}\)

ในเมื่อค่าสัมบูรณ์คือการทำให้เป็นบวก เพราะงั้น \(x\) กับ \(-x\) ก็จะโดนตัดเครื่องหมายออก มันเลยเท่ากัน

\(|x|=|-x|=x\) ถูกต้องหรือไม่ ?

เฉลย

\(\require{cancel}\begin{aligned} |xy|=|x||y| \\ \\\left|\dfrac{x}{y}\right|=\dfrac{|x|}{|y|}\;\;,\;\;y\ne 0 \end{aligned}\)

ข้อนี้คิดง่าย ๆ ว่า ฝั่งซ้ายเหมือนเราเอา \(x\) มาคูณ \(y\) แล้วสุดท้ายทำให้เป็นบวก แต่ฝั่งขวา ทำ \(x\) กับ \(y\) เป็นบวกก่อน แล้วค่อยมาคูณกัน มาเท่ากันเพราะว่า สุดท้ายฝั่งซ้ายก็เป็นบวก ฝั่งขวาก็บวก แค่ฝั่งขวาเราทำให้เป็นบวกก่อน แล้วค่อยคูณ ซึ่ง บวกคูณบวกได้บวก (หารก็คิดเหมือนกัน)

\(\require{cancel}\begin{aligned} |x-y|=|y-x| \end{aligned}\)

ข้อนี้ถ้าเรานึกถึงตอนเด็ก ๆ เวลานำตัวเลขลบกันมาสลับที่กัน เช่น \(2-5=-3\) กับ \(5-2=3\) เราจะได้ค่าเท่าเดิม แต่คนละเครื่องหมาย ทริคนี้เราชอบใช้กัน เวลาลบเลขตอนตัวหน้าน้อยกว่าตัวหลัง เช่นต้องการหา \(35-56\) เราจะคิดในใจว่าคำตอบเป็นลบนะ และคิด \(56-35=21\) แทน ดังนั้น \(35-56=-21\) ดังนั้นแปลว่า \(x-y\) กับ \(y-x\) มีค่าเท่ากันแบบไม่สนเครื่องหมาย ก็คือถ้าใส่ ค่าสัมบูรณ์มันจะมีค่าเท่ากัน นั่นเองครับ

\(\require{cancel}\begin{aligned} |x|^2=x^2 \end{aligned}\)

ฝั่งขวาการยกกำลังสองเป็นบวกเสมอถูกไหมเอ่ย ดังนั้นถ้าเราจะใส่ ค่าสัมบูรณ์ไปก่อนยกกำลังก็ไม่ผิดอะไร เพราะสุดท้ายคำตอบของกำลังสอง เป็นบวกอยู่แล้ว

\(\require{cancel}\begin{aligned} |x+y|\le|x|+|y| \end{aligned}\)

ข้อนี้ไม่ต้องจำ แต่อยากให้นึกถึงเสมอเวลาเจอค่าสัมบูรณ์ เพราะใช้บ่อยเหมือนกัน ข้อนี้ให้คิดแบบนี้สังเกตว่า การนำเลขสองตัวมาบวกกัน ถ้ามีตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งเป็นลบ หรือทั้งสองตัว มันจะกลายเป็นการลบแทน (ค่าน้อยลง) แต่ฝั่งขวา เราทำให้ทุกตัวเป็นบวกก่อน ก่อนจะนำไปบวกกัน ดังนั้น ฝั่งขวามากกว่า(หรือเท่ากับ)ฝั่งซ้ายเสมอ เพราะฝั่งซ้ายอาจมีเลขลบมาหักออกได้ กรณีที่เท่ากันคือ \(x\) และ \(y\) เป็นบวกทั้งคู่


สมการค่าสัมบูรณ์

อยากจะบอกว่าหลักการทั้งในเรื่องอสมการด้วยนะ ให้น้องคิดแบบนี้ ค่าสัมบูรณ์เป็นคุก กล่าวคือ เราจะแก้สมการไม่ได้เลย ถ้ายังมีคนติดอยู่ในคุก ดังนั้น เราต้องปลกออกจากคุก โดยมี 2 กรณี สมมติ เรามี \(|\square|\) โดยการปลดออกจากคุกให้เราเปลี่ยน ค่าสัมบูรณ์ เป็น วงเล็บธรรมดา

  1. ถ้า \(\square\) เป็นบวก (เป็นคนดี) เอาออกจากคุกได้เลย กลายเป็น \((\square)\)
  2. ถ้า \(\square\) เป็นลบ (เป็นคนไม่ดี) เอาออกจากคุกได้ แต่ต้องติดลบมันไว้ (เป็นการติดทัณฑ์บนเอาไว้) กลายเป็น \(-(\square)\)

แต่โดยปกติแล้ว \(\square\) จะเป็นพหุนามที่ติดตัวแปร \(x\) ดังนั้น เราไม่มีทางรู้ว่า เป็นคนดีหรือคนไม่ดี (บางกรณีอาจรู้ถ้าโจทย์บอก หรือ มีข้อมูลเพิ่มเติม) ดังนั้น เราต้องแบ่งกรณีคิด (1) เป็นคนดี (2) เป็นคนไม่ดี ไปดูตัวอย่างกัน

จงหาค่า \(x\) เมื่อ \(|x-1|=3\)

\(x-1\) ติดคุกอยู่ เราเลยต้องแบ่งกรณี

กรณีแรก \(x-1\ge0\) เป็นบวก (คนดี)

แบบนี้เราจะปลดออกจากคุกได้เลย คือ \((x-1)=3\) อย่าลืมวงเล็บนะ ทำให้เป็นนิสัย เพราะโจทย์ถ้าซับซ้อนมากลืมวงเล็บอาจทำเครื่องหมายผิดได้

\(\require{cancel}\begin{aligned} (x-1)&=3 \\x&=4 \end{aligned}\)

แต่อย่าลืมว่าเรามีเงื่อนไขว่า \(x-1\ge0\) เป็นคนดีอยู่ ดังนั้น แก้สมการนิดหน่อยได้ว่า \(x\ge 1\) ซึ่ง \(x=4\) ไม่ได้ขัดแย้งอะไร เราเลยตอบได้ แสดงว่า กรณีแรก \(x=4\)

กรณีสอง \(x-1\lt0\) เป็นลบ (คนไม่ดี)

\(\require{cancel}\begin{aligned} -(x-1)&=3 \\-x+1&=3 \\x&=-2 \end{aligned}\)

กรณีคนไม่ดี คือ \(x-1\lt 0\) แปลว่า \(x\lt0\) เพราะฉะนั้น เราเลยได้ว่า ไม่ขัดแย้ง ดังนั้น \(x=-2\) เป็นอีกคำตอบของสมการ

ตอบ เซตคำตอบคือ \(\{-2,4\}\)

ทริคถ้าเจอรูปแบบ \(|\square|=\heartsuit\)

จริง ๆ ถ้าเราเจอโจทย์รูปแบบนี้ เราไม่ต้องแยกกรณีก็ได้ ลองคิดดี ๆ การที่ \(\square\) ใส่ค่าสัมบูรณ์ แล้วมีค่าเท่ากับ \(\heartsuit\) แปลว่า \(\square\) เป็นได้ 2 กรณี คือ \(\square=\heartsuit\) หรือ \(\square=-\heartsuit\)

ดังนั้น ข้อนี้ \(|x-1|=3\) หมายความว่า \(x-1=3\) หรือ \(x-1=-3\) แก้ได้ \(x=4,-2\) ตามที่เราคิดเลย

ข้อควรระวัง เราต้องเช็คคำตอบด้วยเมื่อได้ \(x\) มาโดย \(\heartsuit\ge 0\) เสมอ เพราะ \(\heartsuit\) เป็นคำตอบ ที่มาจากค่าสัมบูรณ์ของฝั่งซ้าย ดังนั้น มันเป็นบวกเสมอ

หาเซตคำตอบของ \(|x-1|=3-x\)

เฉลย

หาเซตคำตอบของ \(|x^2+x-2|=x^2-4x+3\)

เฉลย

หาเซตคำตอบของ \(|x-1|=2x-3\) 

เฉลย

ทริคการยกกำลังสองทั้งสองข้างเพื่อกำจัดค่าสัมบูรณ์

ทริคนี้เป็นทริคที่ใช้บ่อยเช่นกัน ในการยกกำลังสองทั้งสองข้าง ทำไมถึงทำได้ ? เพราะว่า การยกกำลังสองทำให้เป็นบวกนั่นเอง ดังนั้น หากเรามี \(|x|\) เราไม่รู้ว่า \(x\) เป็นบวกหรือลบ แต่สุดท้าย \(x^2\) เป็นบวกเสมอ ดังนั้น \(|x|^2=x^2\) นั่นเอง (ทฤษฎีบทที่เราเรียนไปตอนช่วงแรก)

การยกกำลังสอง อาจทำให้คำตอบของสมการเพิ่มขึ้น อยากเช่น สมมติ เราบอกว่า \(x=2\) มีคำตอบเดียว แต่พอยกกำลังสอง \(x^2=4\) จะได้ว่าสมการนี้มีสองคำตอบ คือ \(-2, 2\) ดังนั้น การใช้ทริคยกกำลังสอง ต้องตรวจทุกคำตอบทุกครั้ง

อีกข้อสังเกต เวลาทำโจทย์ ถ้าเราใช้ทริคยกกำลังสอง โจทย์ 99% จะไม่ให้น้องแก้สมการยกกำลังเกินดีกรี \(2\) ถ้าน้องทำโจทย์แล้ว น้องจะยกกำลังสองจนมันกลายเป็นติดดีกรีกำลังสี่ ให้ลองมองหาวิธีอื่นก่อน อย่าพึ่งไปทำให้เป็นกำลังสี่นะ เพราะมันแยกตัวประกอบยาก ให้กลับไปสู่เบสิคที่ว่า แทนเป็นคนดีคนไม่ดี แยกกรณี

สมมติว่าเราเจอโจทย์ถามว่า \(x^2+4=4|x|\)

มันไม่อยู่ในรูป \(|\square|=\heartsuit\) และถ้ากำลังสองก็จะได้ ฝั่งซ้ายก็จะได้กำลังสี่ ดังนั้น เราจึงลองกลับไปสู่เบสิคก่อน มี \(x\) ติดคุกอยู่ แบ่งกรณีเป็น

กรณี 1 \(x\ge0\)

\(\require{cancel}\begin{aligned} x^2+4&=4(x) \\x^2-4x+4&=0 \\(x-2)^2&=0 \\x&=2 \end{aligned}\)

ซึ่งไม่ขัดแย้งกับ \(x\ge0\) ดังนั้น \(x=2\) เป็นคำตอบ

กรณี 2 \(x\lt0\)

\(\require{cancel}\begin{aligned} x^2+4&=4(-(x)) \\x^2+4&=-4x \\x^2+4x+4&= \\(x+2)^2&=0 \\x&=-2 \end{aligned}\)

ซึ่งไม่ขัดแย้งกับ \(x\lt0\) ดังนั้น \(x=-2\) เป็นคำตอบ

ข้อนี้จึงตอบว่า เซตคำตอบ คือ \(\{-2,2\}\)

เสริม (1) ข้อนี้จัดรูปแบบนี้ได้ \(\dfrac{x^2+4}{4}=|x|\) จะเข้าสู่สูตรแบบแรก \(|\square|=\heartsuit\) เราก็แก้โดยแยกเป็น \(x=\dfrac{x^2+4}{4}\to x=2\) และ \(x=-\dfrac{x^2+4}{4}\to x=-2\) นำสองคำตอบไปเช็คว่า \(\dfrac{x^2+4}{4}\ge0\) ซึ่งทั้งคู่ใช้ได้ ตอบ \(\{-2,2\}\)

เสริม (2) ข้อนี้ยกกำลังสองก็ได้ ถึงจะติดกำลังสี่ แต่มันมีแค่กำลังสี่ กำลังสอง และกำลังศูนย์ (3 พจน์) ดังนั้น เราใช้ทริคแทน \(A=x^2\) ได้เพื่อให้เหลือกำลังดีกรีสอง ประมาณนี้

\(\require{cancel}\begin{aligned} (x^2+4)^2&=(4|x|)^2 \\x^4+8x^2+16&=16x^2 \\x^4-8x^2+16&=0 \\A^2-8A+16&=0\;\;\;\;\;\;\;,\;\; A=x^2 \\(A-4)^2&=0 \\A&=4 \\x^2&=4\;\;\;\;\;\;\;,\;\;A=x^2 \\x&=-2, 2 \end{aligned}\)

นำไปเช็คในสมการ ได้ว่าใช้ได้ทั้งหมด ก็ตอบเหมือนกันว่า \(\{-2,2\}\)

ที่พี่ยกข้อนี้มา เพราะ อยากจะบอกน้อง ๆ ว่า การแก้สมการอสมการพหุนาม สามารถทำได้หลากหลายแบบมาก แล้วแต่ว่าน้องจะมองโจทย์ยังไง แต่คำตอบสุดท้ายยังไงก็จะเท่ากัน เพราะฉะนั้น เรื่องนี้ยิ่งฝึกเยอะเท่าไหร่ ยิ่งคล่องกับตัวเราเองเท่านั้นครับ พี่ทำได้แค่จัดหมวดหมู่ ว่าสมการมีรูปร่างประมาณไหนบ้าง สุดท้ายอยู่ที่ตัวน้องเองแล้ว ว่าจะฝึกโจทย์กันต่อเยอะขนาดไหน อ่ะไปต่อ

หาเซตคำตอบของ \(|x-1|=|2x+1|\) 

เฉลย

หาเซตคำตอบของ \(2|x+3|=|x-2|\) 

เฉลย

กลับสู่เบสิค : การแบ่งกรณีคนดีคนไม่ดี

สุดท้ายแล้วถ้าทริคด้านบนไม่เวิร์คเอาซะเลย เราก็จะกลับไปทำวิธีปกติ คือ แบ่งกรณี และปลดออกจากคุก คำถาม คือ แล้วเราจะแบ่งกรณียังไง หากมีหลายคุก หรือ ติดสัมบูรณ์หลายตัว

วิธีการที่พี่แนะนำ คือ ให้แบ่งกรณีรวมกัน อย่าคิดแยกว่า

  1. ถ้าคุก 1 คนดี คุก 2 คนดี
  2. ถ้าคุก 1 คนดี คุก 2 คนไม่ดี
  3. ถ้าคุก 1 คนไม่ดี คุก 2 คนดี
  4. ถ้าคุก 1 คนไม่ดี คุก 2 คนไม่ดี

เพราะถ้ามีหลาย \(n\) คุก น้องจะได้ \(2^n\) กรณีซึ่งเยอะแยะมาก และบางกรณีก็เป็นไปไม่ได้ด้วย ดังนั้น ทริคคือ ให้เราเขียนเส้นจำนวนขึ้นมาครับ และนำค่าวิกฤต (ตอนที่คนในคุกเป็น 0 หรือเป็นจุดเปลี่ยนคนดี-คนไม่ดีพอดี) มาเขียนในเส้นจำนวน จากนั้นใช้ช่วงที่โดนแบ่งในเส้นจำนวนนั่นแหละคิด

ไปดูตัวอย่างกันครับ

สมมติมีโจทย์ว่า \(|x|+|2x-4|=|x+1|\) 

น้องรู้ใช้ไหมครับว่า การยกกำลังสองสมการนี้ยังไม่ทำให้ค่าสัมบูรณ์หายไป เพราะตัวหน้ามันจะเข้าสูตร \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\) 

\(\require{cancel}\begin{aligned} (|x|+|2x-4|)^2&=|x+1|^2 \\(x)^2+2|x||2x-4|+(2x-4)^2&=x^2+2x+1 \\\dots \end{aligned}\)

ยังติดค่าสัมบูรณ์อยู่พจน์กลาง \(2|x(2x-4)|\) ต้องแก้โดยย้ายทุกอย่างไปฝั่งขวาเหลือแค่ค่าสัมบูรณ์ไว้ฝั่งซ้าย และยกกำลังสองอีกรอบ ซึ่งจะทำให้เป็นกำลังสี่ ทำได้แต่เยอะ

ดังนั้น ข้อนี้เราจะแยกกรณีกัน ก่อนอื่นนำค่าวิกฤตมาเรียง จะได้ว่า \(-1, 0, 2\) (จับแต่ละตัวเท่ากับ 0 นะ เช่น \(2x-4=0\))

ตรงจุดแบ่งช่วงค่าวิกฤต เราจะนำไปไว้ฝั่งไหนก็ได้นะ อย่างเช่น \(-1\) พี่ให้ไปอยู่กรณี 2 แต่น้องอยากให้อยู่ฝั่งซ้ายก็ได้ แต่ทำให้มันเหมือนกัน ถ้าน้องจะโยน ค่าวิกฤตไปฝั่งขวา ก็ให้ไปฝั่งขวาให้หมด

ในแต่ละช่วง เราจะคิดว่าแต่ละคุก เป็นคนดีหรือคนไม่ดี เวลาเราคิดกรณีนั้น ๆ จะได้รู้ว่าเวลาปลดต้องใส่เครื่องหมายลบติดด้วยหรือเปล่า วิธีการง่าย ๆ คือการแอบหยิบสักตัวเลขในช่วงนั้นมาแทนค่าดู เช่น กรณีที่ 2 พี่จะหยิบ \(-0.5\) มาแทน (อย่าหยิบค่าวิกฤตมาแทนนะ เพราะมันจะมีวงเล็บนึงเป็น \(0\) เราจะงงว่าสรุปแล้วเป็นคนดีหรือไม่ดี ดังนั้น หยิบเลขตรงอื่นในช่วงมาแทนดีที่สุด) ได้ว่า

  1. \(|x|\) จะได้ว่าตัวในคุก \(x\) เป็นคนไม่ดี เพราะ \(x=-0.5\) ติดลบ ดังนั้น ก้อนนี้กรณี 2 เราจะปลดโดยใส่ลบ
  2. \(|2x+4|\) จะได้ว่าตัวในคุก \(2x-4\) เป็นคนดี เพราะ \(2x+4=2(-0.5)-4=-5\) เป็นลบ ดังนั้น ก้อนนี้กรณี 2 เราจะปลดโดยใส่ลบ
  3. \(|x+1|\) จะได้ว่าตัวในคุก \(x+1\) เป็นคนดี เพราะ \(x+1=0.5\) เป็นบวก ดังนั้น ก้อนนี้กรณี 2 เราจะปลดได้เลย

สมการในกรณีเราก็จะได้ \(-(x)+-(2x-4)=(x+1)\)

เราจะทำแบบนี้ทุกกรณี เพื่อสร้างสมการ ได้ดังนี้ (หลักการคือ แต่ละคุกจะมีค่าวิกฤตของมันอยู่ ดังนั้น ฝั่งนึงของค่าวิกฤตจะเป็นบวก แล้วอีกฝั่งจะเป็นอีกเครื่องหมาย คือ ลบ)

พอเราได้แล้วว่าแต่ละกรณี แต่ละก้อน (คุก) เป็นบวกหรือลบ เราก็จะปลดได้ โดยคิดสมการได้ตามนี้

กรณีที่ 1 \(-(x)+-(2x-4)=-(x+1)\)

\(\require{cancel}\begin{aligned} -x-(2x-4)&=-x-1 \\-x-2x+4&=-x-1 \\2x&=5 \\x&=\dfrac{5}{2} \end{aligned}\)

ขัดแย้งกับช่วงกรณี 1 ที่ว่า \(x\lt -1\) ดังนั้น ช่วงนี้ไม่มีคำตอบ

กรณีที่ 2 \(-(x)+-(2x-4)=(x+1)\)

\(\require{cancel}\begin{aligned} -x-(2x-4)&=x+1 \\-x-2x+4&=x+1 \\3&=4x \\x&=\dfrac{3}{4} \end{aligned}\)

ขัดแย้งกับช่วงกรณี 2 ที่ว่า \(-1\le x\lt0\) ดังนั้น ช่วงนี้ไม่มีคำตอบ

กรณีที่ 3 \((x)+-(2x-4)=(x+1)\)

\(\require{cancel}\begin{aligned} x-(2x-4)&=x+1 \\x-2x+4&=x+1 \\3&=2x \\x&=\dfrac{3}{2} \end{aligned}\)

อยู่ในช่วงกรณี 3 พอดี ดังนั้น กรณี 3 มี \(x=\dfrac{3}{2}\) เป็นคำตอบ

กรณีที่ 4 \((x)+(2x-4)=(x+1)\)

\(\require{cancel}\begin{aligned} 3x-4&=x+1 \\2x&=5 \\x&=\dfrac{5}{2} \end{aligned}\)

ไม่ขัดแย้ง เพราะ กรณี 4 บอกว่า \(x\ge 2\) ดังนั้น กรณี 4 มี \(x=\dfrac{5}{2}\) เป็นคำตอบ

เราเลยได้ว่า คำตอบสมการนี้คือ \(\left\{\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2}\right\}\)

น้องอาจจะคิดว่ามันดูเยอะนะ แต่การแบ่งช่วงไม่ยากและสังเกตพอแบ่งเสร็จ เราได้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว แบบแก้ง่ายมาก ๆ ดังนั้น มันไปหนักที่การหาค่าวิกฤตแบ่งช่วงมากกว่า การแก้สมการด้วยซ้ำ

หากบทความพี่เป็นประโยชน์ ฝากแชร์ต่อให้เพื่อนๆ ด้วยนะครับ :')