อสมการค่าสัมบูรณ์ - จำนวนจริง ม.4


อ่าน 207 ครั้ง

อยากดูแบบวิดีโอ? (อยู่ระหว่างการจัดทำคลิป)

การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์

ก่อนจะเข้าบทนี้อย่าลืมไปอ่านเรื่อง สมการค่าสัมบูรณ์ กันก่อนนะครับ เนื่องจากมันคือเรื่องเดียวกัน และหลักการแก้ก็คล้าย ๆ กัน จะได้เห็นไอเดียการแก้ค่าสัมบูรณ์กันก่อน ว่าถ้าติดค่าสัมบูรณ์จะต้องกำจัดมันออกยังไง เราไปดูรูปแบบที่พบบ่อยกันดีกว่า

รูปแบบที่ 1

\(\require{cancel}\begin{aligned} |x|&\lt a\\ |x|&\le a\\ \end{aligned}\)

แบบนี้ให้เราสังเกตง่าย ๆ เลยก็ได้สมมติ \(|x|\lt 5\) มันแปลว่า ค่าของ \(x\) มีค่าน้อยกว่า 5 แบบไม่คิดเครื่องหมาย ดังนั้น มันจะเป็นช่วงตั้งแต่ \(-5\) ถึง \(5\) และการเอา \(5\) หรือไม่เอา \(5\) ก็ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของอสมการนั่นเองครับ ดังนั้น การที่เราบอก \(|x|\lt a\) หรือ \(|x|\le a\) มันจะเป็นสองกรณี ดังนี้

ดังนั้น หากเจอโจทย์ประเภทนี้ ก็ถอดค่าสัมบูรณ์เป็นสองสมการได้เลย อย่าลืมตรวจคำตอบ เพราะ \(a\ge 0\) เสมอ เนื่องจาก ฝั่งซ้ายเป็นค่าสัมบูรณ์ ดังนั้น เป็นบวกเสมอ และ \(a\) มากกว่าฝั่งซ้าย ดังนั้น \(a\) ก็เป็นบวกเสมอเช่นกัน

ตัวอย่าง จงหาเซตคำตอบของอสมการ \(|x+2|\lt 6\) เราก็แยกเป็นสองสมการเลยจะได้ว่า

\(\require{cancel}\begin{aligned} -6\lt x+2\lt 6 \end{aligned}\)

การเขียนสมการแบบนี้ จริง ๆ แล้ว เราสามารถแก้สมการโดยไม่ต้องแยกร่างได้ แต่ใครไม่ชิน ก็แยกเป็นสองกรณีแบบนี้ \(-6\lt x+2\) และ \(x+2\lt 6\) แต่พี่จะทำแบบไม่แยกไปเลย ได้ว่า

\(\require{cancel}\begin{aligned} -6-2&\lt x+2-2\lt 6-2\\ -8&\lt\;\;\;\;\;\;x\;\;\;\;\;\;\,\lt 4 \end{aligned}\)

ดังนั้นตอบ เซตคำตอบคือ \((-8, 4)\) นั่นเองครับ

ถ้าถามว่าจะแบ่งกรณีใช้ค่าวิกฤตได้ไหม

คำตอบก็คือได้เหมือนกันครับอย่างในข้อนี้ เราจะแบ่งเป็น 2 กรณี

กรณที่ 1 : \(x\ge-2\) แปลว่า \(x+2\) เป็นคนดี ก็เลยได้ว่าถอดค่าสัมบูรณ์ออกได้เลย

\(\require{cancel} \begin{aligned} x+2&\lt6\\ x&\lt 4 \end{aligned}\)

ดังนั้นแปลว่า คำตอบในกรณีนี้คือ \([-2, 4)\) เพราะต้องมากกว่า \(2\) (เอา \(2\) ด้วย) และน้อยกว่า \(4\)

กรณีที่ 2 : \(x\lt-2\) แปลว่า \(x+2\) เป็นคนไม่ดี ก็เลยถอดและต้องติดลบ

\(\require{cancel} \begin{aligned} -x-2&\lt6\\ -8&\lt x \end{aligned}\)

ดังนั้นแปลว่า คำตอบในกรณีนี้คือ \((-8, -2)\)

พอนำมารวมกัน คำตอบก็จะได้เหมือนกันว่า \((-8, -2)\cup[-2,4)=(-8,4)\) ดังนั้นจะเห็นได้เลยว่า วิธีแรกง่ายกว่าเพราะเราไม่ต้องเสียเวลาแบ่งกรณี เพราะฉะนั้นหากเจอโจทย์แบบนี้ ให้น้องทำแบบวิธีบนจะง่ายกว่า ลองไปฝึกทำตัวอย่างโจทย์ตามด้านล่างกันได้เลย

หาเซตคำตอบของ \(|x+2|\lt x+5\)

เฉลย

หาเซตคำตอบของ \(x+5\ge2|x|\)

เฉลย

รูปแบบที่ 2

\(\require{cancel} \begin{aligned} |x|&\gt a\\ |x|&\ge a \end{aligned}\)

แบบนี้เราต้องสังเกตก่อนว่า \(|x|\gt 4\) เราจะได้ว่าฝั่งบวก คือ มากกว่า 4 ก็ได้หมด แต่ฝั่งถ้า \(x\) ติดลบ คือต้องน้อยกว่า \(-4\) ลงไป เช่น \(-5, -10, -100,\dots\) ดังนั้น เราจะได้ ดังนี้

การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์แบบนี้ การเชื่อมกันคือ "หรือ" นะ เพราะสองเส้นจำนวนมันไม่ทับกันถ้านำมา "และ" มันเป็นเซตว่าง ดังนั้น น้อง ๆ ต้องแยกให้ออกก่อนว่าตรงไหน "หรือ" ตรงไหน "และ"

เช่นหากต้องมีเซตคำตอบของ \(|x|\gt 3\) เราจะได้คำตอบคือ \(x\lt -3\) หรือ \(x\gt 3\) หรือเขียนง่าย ๆ ว่า \((-\infty,-3)\cup(3,\infty)\) 

ข้อสังเกต กรณีแบบนี้ เราจะไม่ต้องตรวจคำตอบ เพราะฝั่งขวา (ไม่มีค่าสัมบูรณ์) จะเป็นอะไรก็ได้ (ลบหรือบวกก็ได้) ซึ่งต่างจาก รูปแบบ 1 ที่เราจะต้องตรวจคำตอบด้วยว่า ฝั่งขวาเป็นบวกเสมอ

หาเซตคำตอบของ \(|x+2|\gt x+3\)

เฉลย

อีกตัวอย่าง หาเซตคำตอบของ \(\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|\gt2\)

ข้อนี้จะใช้วิธีตามสูตรนี้ก็ได้ จะได้ว่า

\(\require{cancel} \begin{aligned} \dfrac{x-1}{x+1}\lt -2 \end{aligned}\)

หรือ

\(\require{cancel} \begin{aligned} \dfrac{x-1}{x+1}\gt 2 \end{aligned}\)

แต่จะสังเกตว่า เราก็จับคูณไขว้ไม่ได้อยู่ดี เพราะเป็นอสมการ เราไม่แน่ใจว่าตัวส่วนเป็นบวกหรือลบ วิธีที่ทำได้ คือ การแยกกรณีโดยกำหนด 2 แบบ (1) ส่วนเป็นบวก (2) ส่วนเป็นลบ จากนั้นคูณไขว้ได้ แต่สังเกตว่า เราจะมีต้องคิดทั้งหมด 4 (อันละ 2 กรณี 2 อัน) ซึ่งเยอะมาก เราจึงจะไปดูวิธีการแก้ข้อนี้ในรูปแบบที่สาม คือ การยกกำลังสองทั้งสองข้าง

รูปแบบที่ 3

\(\require{cancel} \begin{aligned} |x|&\lt|y|\\ |x|&\le|y|\\ |x|&\gt|y|\\ |x|&\ge|y| \end{aligned}\)

ก่อนอื่นต้องเกริ่นกันก่อนนิดนึงว่า การยกกำลังสองทั้งสองข้าง มันต้องกลับเครื่องหมายในบางกรณีด้วย ยกตัวอย่างง่าย ๆ สมมติเรามี

แบบนี้ไม่ต้องกลับเครื่องหมาย

\(\require{cancel} \begin{aligned} 5&\lt 7\\ 5^2&\lt7^2 \end{aligned}\)

แบบนี้ต้องกลับเครื่องหมาย

\(\require{cancel} \begin{aligned} -7&\lt -5\\ (-7)^2&\gt(-5)^2\\ 49&\gt 25 \end{aligned}\)

ดังนั้นมันแปลว่า การยกกำลังสองจริง ๆ แล้วมันทำตรง ๆ ไม่ได้ เพราะเราไม่รู้ว่าแต่ละฝั่งเป็นบวกหรือลบ แต่ข้อดีของ อสมการค่าสัมบูรณ์ ก็คือเราจะพอรู้ว่าแต่ละฝั่งเป็นบวกหรือลบ ดังนั้น เราสามารถดูได้ว่ายกกำลังสองได้หรือเปล่า เช่น \(|x+5|\) เป็นบวกเสมอ และ \(-7|x-4|\) เป็นลบเสมอ

สมมติเราต้องการหาเซตคำตอบของอสมการ \(\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|\gt2\) ที่เราค้างไว้ด้านบน แยกค่าสัมบูรณ์สักนิด

\(\require{cancel} \begin{aligned} \dfrac{|x-1|}{|x+1|}&\gt 2 \end{aligned}\)

เราคูณไขว้ขึ้นไปได้ เพราะ ตัวส่วนเป็นบวกเสมอเนื่องจากเป็นค่าสัมบูรณ์

\(\require{cancel} \begin{aligned} |x-1|&\gt 2|x+1| \end{aligned}\)

มาถึงขั้นตอนนี้ บางคนอาจสงสัยว่ารูปอสมการ ค่าสัมบูรณ์มันยังไม่ครอบเลข \(2\) จะยกกำลังสองได้เลยหรือเปล่า ได้เลยครับ เพราะ ถึงจะเอาเลข \(2\) ไปคูณก็เป็นบวกอยู่ดี ดังนั้น ทั้งสองฝั่งเป็นบวกยกกำลังสองได้เลย ไม่ต้องกลับเครื่องหมาย

\(\require{cancel} \begin{aligned} |x-1|^2&\gt (2|x+1|)^2\\ (x-1)^2&\gt 4(x+1)^2\\ x^2-2x+1&\gt 4(x^2+2x+1)\\ x^2-2x+1&\gt 4x^2+8x+4\\ 0&\gt 3x^2+10x+3\\ 0&\gt (3x+1)(x+3) \end{aligned}\)

นำเป็นเขียนเส้นจำนวน ที่เราเรียนในแก้อสมการพหุนาม

เราเลยได้ว่า คำตอบของอสมการคือ \(\left(-3,-\dfrac{1}{3}\right)\)

หาเซตคำตอบของ \(\left|\,x-\dfrac{3}{x}\right|\le2\)

เฉลย

หาเซตคำตอบของ \(|2x^2-5x-1|\le|x^2-x+4|\)

เฉลย

เสริม : ถ้าเราเจออสมการรูปแบบอื่น ๆ ที่ไม่สามารถทำเป็นรูปแบบทั้ง 3 ได้ เราสามารถกลับไปวิธีปกติ คือ แบ่งช่วงหาค่าวิกฤตเพื่อปลดล็อคอสมการ จากนั้น เราค่อยแก้ทีละอันแบบไม่ติดค่าสัมบูรณ์ได้เลย

หากบทความพี่เป็นประโยชน์ ฝากแชร์ต่อให้เพื่อนๆ ด้วยนะครับ :')