สมบัติของการดำเนินการของเซต บอกแบบหมดเปลือก พร้อมวิธีจำง่ายๆ


อ่าน 3,200 ครั้ง

อยากดูแบบวิดีโอ?

เข้าหาบทความพี่ง่ายๆ จาก Google

เซต ม.4
เซต ม.4
สมบัติของการดำเนินการของเซต

ไม่อยู่ในไม่อยู่

\(A^{\prime\prime}=A\)

อันนี้เป็นสมบัติเล็กๆ ที่ปกติโดนมองข้ามกันตลอด แอบน่าสงสาร เอาจริงๆ มันไม่ยากเลยน้อง จำกันได้มั้ยว่า \(^\prime\) คือการเอาตรงข้ามกับที่มีอยู่ การทำซ้ำสองรอบก็เหมือน เอาตรงข้ามของตรงข้าม ก็คืออันเดิม อะไรประมาณนี้ ยิ่งพูดยิ่งงง เอาเป็นว่าตามนั้นแหละ ใส่สองทีมันก็จะกลับมาเป็นตัวเดิม

สลับที่

\(A\cap B=B\cap A\) 
\(A\cup B=B\cup A\) 

อันนี้ก็ไม่ยาก เอาจริงๆ คือจำไปเลยก็ได้ แต่ถ้าไม่อยากจำก็คิดซะว่า ตัวดำเนินการของเซตมี 4 ตัว \(\cap\;,\;\cup\;,\;-\;,\;^\prime\) โดยตัวหลังสุด \(^\prime\) มันไม่เกี่ยวอยู่และ เพราะว่า มันทำกับ เซต 1 เซต ไม่ใช่ 2 แบบที่เรากำลังทำอยู่ ดังนั้นก็เหลือ \(\cap\;,\;\cup\;,\;-\) สามตัว ตัวสุดท้ายคือ ผลต่าง ให้คิดเหมือนเครื่องหมายลบ ถ้าน้องมี \(2-5\) กับ \(5-2\) แล้ว ผลลัพธ์มันไม่เท่ากันถูกมั้ยครับ อันแรกคือ \(-3\) อันสองคือ \(3\) ดังนั้นการลบไม่มีสมบัติการสลับที่

เปลี่ยนกลุ่ม

\((A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)\) 
\((A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)\) 

เหมือนเดิมอันนี้คือผลต่างไม่มีสมบัตินี้ อันนี้คือสมบัติเมื่อเครื่องหมายเหมือนกันทั้งหมด

แจกแจง

\((A\cap B)\textcolor{red}{\cup C}=(A\textcolor{red}{\cup C})\cap(B\textcolor{red}{\cup C})\) 
\((A\cup B)\textcolor{blue}{\cap C}=(A\textcolor{blue}{\cap C})\cup(B\textcolor{blue}{\cap C})\) 

อันนี้ให้สังเกตว่าเครื่องหมายมันไม่เหมือนกันมันถึงจะเรียกว่าแจกแจง \((A\textcolor{red}{\cap} B)\textcolor{blue}{\cup} C=\dots\) หากเรามีเครื่องหมายเหมือนกันมันจะไปอยู่ในสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มทันทีเลย

กระจายคอมพลีเมนต์ **

\((A\cap B)^{\,\prime} =A^{\,\prime}\cup B^{\,\prime}\) 
\((A\cup B)^{\,\prime} =A^{\,\prime}\cap B^{\,\prime}\) 

อันนี้เป็นสมบัติที่ออกข้อสอบบ่อยมาก และหากลืมมันก็ยากมากเช่นกันที่จะไปนึกออกในห้องสอบ ดังนั้นพี่แนะนำว่าสมบัติอันนี้เราควรจะจำได้ขึ้นใจ สมบัตินี้มีอีกชื่อว่า De Morgan's (เดอมอร์แกน) น่าจะเป็นชื่อของผู้คิดค้นสมบัตินี้นะ คือเอาง่ายๆ มันคือการที่หากน้องมีวงเล็บและคอมพลีเมนต์ตัวใหญ่ครอบทั้งหมดอยู่ เราสามารถกระจายคอมพลีเมนต์เข้าไปให้แต่ละตัวได้ แต่เครื่องหมายต้องกลับ!

ระวัง! \((A\cap B\cup C)^{\,\prime}\) \(\neq A^{\,\prime}\cup B^{\,\prime}\cap C^{\,\prime}\) 

ทำไม

ผลต่าง **

\(A-B=A\cap B^{\,\prime}\)

อันนี้ขอติดดาวไว้อีกเช่นกัน สมบัตินี้ก็ใช้บ่อยมากเหมือนกัน และมันแทบจะเป็นสมบัติเดียวเลยที่น้องใช้หากน้องเจอผลต่าง จำได้มั้ยครับที่พี่บอกสมบัติไปข้างบนทั้งหมด สังเกตว่ามันไม่มีสมบัติไหนเลยที่จะใช้กับ "ผลต่าง" ได้ ดังนั้น หากน้องเจอผลต่างที่ไหน ต้องใช้สมบัตินี้แปลงให้เป็น \(\cap\) ที่นั่น หากใครสนใจบทพิสูจน์แบบคร่าวๆ สามารถดูได้ที่ วิดีโอสมบัติของการดำเนินการของเซต นาทีที่ 13


กระจายผลต่าง (เพิ่มเติม)

อันนี้เป็นสมบัติที่ไม่ค่อยได้มีสอนในหลักสูตร เพราะจริงๆ น้องสามารถใช้สมบัติต่างๆ ข้างบนทำแทนได้หมดเลย! วันนี้จะมาทำให้ดูว่าแต่ละอันมันมาได้อย่างไร ส่วนน้องๆ คนไหนเลือกที่จะจำก็สามารถจำได้ แต่ขอให้เข้าใจก่อนว่าแต่ละสูตรนั้นมาได้อย่างไรเผื่อในห้องสอบเราลืม เราจะได้แก้จากสมบัติพื้นฐานกันได้

\(A-(B\cup C)=(A-B)\cap(A-C)\) 
\(A-(B\cap C)=(A-B)\cup(A-C)\) 

พี่จะพิสูจน์อันแรกให้ดูและน้องลองทำอันที่สองกันเองที่บ้านนะครับ
\(A-(B\cup C)\) 
\(= A\cap(B\cup C)^{\prime}\) 
\(= A\cap(B^{\,\prime}\cap C^{\,\prime})\) 
\(= A\cap B^{\,\prime}\cap C^{\,\prime}\) 
\(= A\textcolor{blue}{\cap A}\cap B^{\,\prime}\cap C^{\,\prime}\) 
\(= A\cap B^{\,\prime}\cap A\cap C^{\,\prime}\) 
\(= (A\cap B^{\,\prime})\cap (A\cap C^{\,\prime})\) 
\(= (A-B)\cap(A-C)\) 
\end{align} \)
อธิบายเพิ่มเติมก็คือให้ใช้ สมบัติผลต่าง (บรรทัด 1) จากนั้น กระจายคอมพลีเมนต์ (บรรทัด 2) จากนั้นก็ จัดกลุ่มใหม่และเพิ่ม \(A\) เข้าไปเนื่องจาก \(A\cap A=A\) เมื่อเสร็จทำการย้ายตำแหน่ง เราย้ายได้เพราะเครื่องหมายข้างในเป็น \(\cap\) ทั้งหมด เมื่อเสร็จก็จัดกลุ่มวงเล็บ (บรรทัด 6) และใช้สูตร ผลต่าง แปลงจาก \(\cap\) กลับเป็น \(-\) (บรรทัด 7) เป็นอันเสร็จสิ้น

พิสูจน์ \(A-(B\cap C)=\) \((A-B)\cup(A-C)\) 

น้องๆ สามารถดูวิดีโอตัวอย่างโจทย์การพิสูจน์สมบัติของการดำเนินการของเซตได้เพิ่มเติมที่ วิดีโอสมบัติของการดำเนินการของเซต นาทีที่ 14:20 เลยนะ

หากบทความพี่เป็นประโยชน์ ฝากแชร์ต่อให้เพื่อนๆ ด้วยนะครับ :')