คู่อันดับ และ ผลคูณคาร์ทีเซียน ม.4

คู่อันดับ

เอาแบบย่อ ๆ เลยให้น้องนึกถึงเรื่องกราฟ เวลาเราพล็อตจุดลงบนกราฟ จะมี ค่าคู่พิกัด \((x,y)\) เกิดขึ้นมา หรือเราเรียกว่าคู่อันดับ นั่นเอง ซึ่งถ้าเราพล็อตจุด \((1,2)\) กับ \((2,1)\) ก็จะเห็นแล้วว่ามันคนละจุดนะ ดังนั้นแปลว่า โดยปกติแล้ว \((x,y)\ne(y,x)\) นะ แต่ช้าก่อน ถ้า \(x=y\) หล่ะ อย่างตัวอย่างด้านขวา มันก็สามารถเป็นจุดเดียวกันได้ เช่น \((2,2)=(2,2)\) นั่นเอง

แล้วถามว่าคู่อันดับเกี่ยวอะไรกับฟังก์ชัน มันเกี่ยวเพราะว่าฟังก์ชันหรือความสัมพันธ์ ก็คือ ความสัมพันธ์ของ สิ่ง 2 สิ่ง เวลาเราพูดถึงสิ่งสองสิ่งพร้อมกันในเชิงคณิตศาสตร์ เราก็จะใช้ \((x,y)\) นั่นแหละครับ เป็นการเขียนคู่ตัวเลข อันนี้เกริ่นคร่าว ๆ เฉย ๆ เดี๋ยวในเรื่องความสัมพันธ์เราจะใช้สัญลักษณ์คู่อันดับ เช่น \((x,y)\) เยอะมาก

เช่น \((2,5)=(x,y)\) เราจะรู้ทันทีว่า \(x=2\) และ \(y=5\) เพราะตัวหน้าเท่าและตัวหลังเท่า ถ้าใครอยากโยงนิดนึงไปเรื่องเซตก็ได้ครับ จะต่างกันนิดหน่อย เพราะในเซตลำดับไม่สำคัญ ในเซตเรารู้ว่า \(\{1,2\}=\{2,1\}\) แต่ถ้าเปลี่ยนเจ้าตัว \(\{ \}\) เป็น \(( )\) จะได้เป็นคู่อันดับที่ไม่เท่ากันทันที \((1,2)\ne(2,1)\)

ถามว่าโจทย์ออกอะไรได้บ้าง ไม่ค่อยมีนะเพราะมันไม่มีอะไรให้ออก ที่น้องควรรู้พาร์ทนี้ก็รู้แค่ คู่อันดับ ลำดับสำคัญ จะเท่ากันได้ ต้องเป็นหน้าเหมือนหน้า และ หลังเหมือนหลัง

สมมติให้ \(A=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\) แล้ว \(B=\{(1,2),(4,3)\}\) จงหา \(A\cap B\)

โจทย์แบบนี้เป็นการประยุกต์ใช้ความรู้เรื่องเซตมาเกี่ยวข้อง ซึ่งเรารู้ว่า \(\cap\) คือการหาสมาชิกที่มีร่วมกัน ทั้ง \(A\) และ \(B\) ซึ่งหลักการก็เหมือนเดิมครับน้อง ๆ เราต้องรู้ก่อนว่าสมาชิกใน \(A\) คือใคร ต้องแยกให้ออกนะว่าอันนี้คือ เครื่องหมายลูกน้ำคั่นสมาชิก หรือคั่นคู่อันดับ เราจะเห็นว่าทั้ง \(A\) และ \(B\) มี \((1,2)\) เป็นสมาชิก ส่วน \((3,4)\ne(4,3)\) ดังนั้น มันเป็นคนละตัว เลยไม่ใช่สมาชิกซ้ำ

ข้อนี้จึงตอบ \(\{(1,2)\}\)

ผลคูณคาร์ทีเซียน

คือ การนำเซตสองเซตมาจับคู่ สมมติเรามี เซต \(A\) และ \(B\) การที่เราเขียนว่า \(A\times B\) (เอคูณบี) เราหมายถึง เรานำทุกสมาชิก ของ \(A\) เป็นตัวหน้า และ ทุกสมาชิก ของ \(B\) เป็นตัวหลัง ไปดูตัวอย่างกันเพื่อไม่ให้งง

\(A=\{1,2,3\}\) 
\(B=\{a,b\}\) 

เราจะได้ว่า \(A\times B=\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)\}\) พูดง่าย ๆ เลยคือ หยิบสมาชิกใน \(A\) มาทีละตัว และนำไปจับคู่กับสมาชิกของ \(B\) ทีละตัวทุกตัว

ขั้นแรก หยิบสมาชิกตัวแรก ซึ่งคือ \(1\) จาก \(A\) นำไปจับคู่กับสมาชิกทุกตัวของ \(B\) ซึ่งมี \(a,b\) ดังนั้น ได้คู่อันดับ \((1,a),(1,b)\)

ต่อมาหยิบตัวถัดไปของ \(A\) ซึ่งคือ \(2\) นำไปจับคู่กับทุกสมาชิกใน \(B\) ได้ \((2,a),(2,b)\) เป็นตัน ไปเรื่อย ๆ

เสร็จสรรพจับครบทุกคู่ \(A\times B=\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)\}\)

อย่างตัวอย่างด้านบน \(A\) มีสมาชิก \(3\) ตัว ส่วน \(B\) มีสมาชิก \(2\) ตัว ดังนั้น ผลคูณคาร์ทีเซียน ก็เลยเป็น \(2\times 3=6\) คู่อันดับ น้อง ๆ มักเจอเป็นภาษาคณิตว่า

ลองวิเคราะห์กันดูตามความเข้าใจข้างบน น้อง ๆ จะมองเห็นเลยว่า มันแค่บอกว่า ผลคูณคาร์ทีเซียน คือ เซตนะ ซึ่งเป็นเซตที่ประกอบไปด้วย คู่อันดับ \((a,b)\) โดย \(a\) เนี่ยเป็นสมาชิกใน \(A\) ส่วน \(b\) เป็นสมาชิกใน \(B\) ภาษาบ้าน ๆ เราเรียกว่า \((a,b)\) ที่ตัวหน้ามาจากเซตแรก ตัวหลังมาจากเซตหลัง

เสริม ผลคูณคาร์ทีเซียนสามารถกระทำบนเซตไหนก็ได้ สมมติ \(A=\{1,2\}\) และ \(B=\{3\}\) เราอยากหา \(B\times A\) มันแปลว่าจับคู่โดยเอาสมาชิก \(B\) เป็นตัวหน้า สมาชิก \(A\) เป็นตัวหลัง เราจะได้ว่า \(B\times A=\{(3,1),(3,2)\}\) 

หรือหาก กำหนดให้ \(A=\{a,b\}\) จงหา \(A\times A\) ให้น้อง ๆ คิดเหมือนว่า มี \(A\) สองเซต ก็คือ นำสมาชิกใน \(A\) มาจับคู่กับสมาชิกใน \(A\) กันเอง

\(a\) ก็คู่กับ \(a\) และ \(b\) ส่วน
\(b\) ก็คู่กับ \(a\) และ \(b\)

ได้ว่า \(A\times A=\{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)\}\)