วิธีการหารยาวพหุนาม และ การหารสังเคราะห์ - จำนวนจริง ม.4


อ่าน 2,433 ครั้ง

อยากดูแบบวิดีโอ? (อยู่ระหว่างการจัดทำคลิป)

วิธีหารยาวพหุนาม

หลักการจะคล้าย ๆ กับหารยาวตอนประถมนั่นแหละครับน้อง ๆ โดยเราจะนำพหุนาม 2 ตัวมาตั้งหารกัน สมมุติ เรามี \(x^3-4x^2+5x+10\) เป็นตัวตั้ง และเรามี \(x-1\) เป็นตัวหาร

ถ้าน้องสังเกต มันคือเรื่องเดียวกันกับ การหารปกติเนี่ยแหละครับ ถ้าเราตั้งหารยาว จากโจทย์ด้านบน ผลลัพธ์ที่ได้คือ (1) ผลหาร \(=x^2-3x+2\) และ (2) เศษเหลือ \(=12\) เดี๋ยวเราจะลองหารยาวกัน และดูว่าคำตอบมันตรงกับที่พี่ใบ้บอกหรือเปล่า

หลักการหารยาวก็ไม่มีอะไรมากครับน้อง เราจะใช้พจน์แรกของ ตัวหาร เป็นหลัก เพื่อหาว่าคูณกับตัวอะไร ได้เป็นพจน์หน้าสุด ของพหุนามปัจจุบันที่เรากำลังคิดอยู่ หากดูตามภาพด้านบน

ขั้นแรก เรากำลังคิดพหุนาม \(\textcolor{blue}{x^3}-4x^2+5x+10\) ดังนั้น ต้องหาว่า อะไรคูณ พจน์แรกตัวหาร \(x\) ได้ \(x^3\) เราก็จะได้ผลลัพธ์เป็น \(x^2\) เราต้องนำ \(x^2\) คูณทั้งก้อนตัวหาร และนำไปลบ ต่อไปเรื่อย ๆ

หากมีพจน์ดีกรีกระโดด

ให้น้องทำเหมือนเดิมแต่ใส่พจน์ที่หายด้วย สปส. 0 ครับ เช่น ถ้าตัวตั้งเราเป็น \(x^4-2x^2+5\) น้องสามารถเขียนเป็น \(x^4+0x^3-2x^2+0x+5\) ก่อนนำไปเข้าการตั้งหารพหุนาม

อีกตัวอย่าง จงหาผลหารและเศษ จากการหาร \(x^4-2x^2+5\) ด้วย \(x^2+5x-4\)

ขั้นแรก เราก็ใส่พจน์ที่หายไปด้วยสัมประสิทธิ์ศูนย์

\( \require{enclose} \begin{array}{rll} x^2+5x-4\;\enclose{longdiv}{x^4+\textcolor{blue}{0x^3}-2x^2+\textcolor{blue}{0x}+5}\kern-.2ex \\[-3pt] \end{array} \)

หลักการก็คือ พจน์หน้าตัวหาร กับ พจน์หน้าตัวตั้งปัจจุบัน ตัวตั้งปัจจุบัน เราคือ \(x^4+\dots\) ส่วนตัวหาร \(x^2+\dots\) เราต้องหาว่า \(x^2\) คูณด้วยอะไรได้ \(x^4\) ก็คือ \(x^2\) ดังนั้นเราใส่ผลหารที่ได้ข้างบนเลย จะได้เป็น

\( \require{enclose} \begin{array}{rll} \textcolor{blue}{x^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \\[-3pt] x^2+5x-4\;\enclose{longdiv}{x^4+0x^3-2x^2+0x+5}\kern-.2ex \\[-3pt] \end{array} \)

ขั้นต่อไปเรานำผลหาร \(x^2\) ที่ได้ไปคูณตัวหาร ตามหลักการหารยาวที่เราเรียนตอนประถมปกติ แต่คราวนี้มันเป็นพหุนาม เราก็ต้องคูณทุกตัว จะได้ว่า \(x^2\) คูณ \(x^2+5x-4\) ได้ \(x^4+5x^3-4x^2\) เรานำไปใส่ ในผลคูณและตั้งลบได้ดังนี้

\( \require{enclose} \begin{array}{rll} {x^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \\[-3pt] x^2+5x-4\;\enclose{longdiv}{x^4+0x^3-2x^2+0x+5}\kern-.2ex \\[-3pt] \underline{\textcolor{blue}{x^4+5x^3-4x^2}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\[-3pt] \end{array} \)

จากนั้นเราก็ตั้งลบกัน โดยการลบพหุนามปกติ สิ่งที่อยากให้ระวัง เช่น ในพจน์ \(x^2\) เรานำ \(-2x^2\) มาลบกับ \(-4x^2\) ดังนั้น สปส. คือ \(-2-(-4)=2\) ลบกันเลยได้ \(2x^2\) นั่นเอง

\( \require{enclose} \begin{array}{rll} {x^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \\[-3pt] x^2+5x-4\;\enclose{longdiv}{x^4+0x^3-2x^2+0x+5}\kern-.2ex \\[-3pt] \underline{x^4+5x^3-4x^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\[-3pt] \textcolor{blue}{-5x^3+2x^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\[-3pt] \end{array} \)

ตำถามต่อมาคือ ชักลงกี่พจน์ อันนี้แล้วแต่น้องเลยครับ ถ้าไม่อยากให้รกก็ชักลงมาแค่ที่จำเป็น สังเกตว่า ตัวหาร \(x^2+5x-4\) มีสามพจน์ ดังนั้น เวลามันนำไปคูณอะไรก็จะได้ 3 พจน์ แต่ตอนนี้ผลหารเรามี 2 พจน์ (สีน้ำเงิน) เราก็ชักลงมาแค่พจน์เดียวให้ครบ 3 ก็พอ

\( \require{enclose} \begin{array}{rll} {x^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \\[-3pt] x^2+5x-4\;\enclose{longdiv}{x^4+0x^3-2x^2+0x+5}\kern-.2ex \\[-3pt] \underline{x^4+5x^3-4x^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\[-3pt] -5x^3+2x^2\textcolor{blue}{+0x}\;\;\;\;\;\;\;\\[-3pt] \end{array} \)

จากนั้นทำแบบเดิม สังเกตว่าตัวตั้งดีกรีเหลือสามและ \(-5x^3\) ก็ต้องทำต่อ โดยดูพจน์หน้า \(-5x^3\) เราก็ต้องดูจาก พจน์หน้าตัวหาร \(x^2\) ว่าต้องคูณอะไรถึงได้ \(-5x^3\) ก็จะได้ว่า \(-5x\)

\( \require{enclose} \begin{array}{rll} {x^2\textcolor{blue}{-5x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \\[-3pt] x^2+5x-4\;\enclose{longdiv}{x^4+0x^3-2x^2+0x+5}\kern-.2ex \\[-3pt] \underline{x^4+5x^3-4x^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\[-3pt] -5x^3+2x^2+0x\;\;\;\;\;\;\;\\[-3pt] \end{array} \)

หาผลคูณของ \(-5x\) กับ ตัวหาร \(x^2+5x-4\) จะได้ว่า

\( \require{enclose} \begin{array}{rll} {x^2-5x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \\[-3pt] x^2+5x-4\;\enclose{longdiv}{x^4+0x^3-2x^2+0x+5}\kern-.2ex \\[-3pt] \underline{x^4+5x^3-4x^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\[-3pt] -5x^3+2x^2+0x\;\;\;\;\;\;\;\\[-3pt] \underline{\textcolor{blue}{-5x^3-25x^2+20x}}\;\;\;\;\;\\[-3pt] \end{array} \)

ลบกันและชักที่เหลือลงมา

\( \require{enclose} \begin{array}{rll} {x^2-5x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \\[-3pt] x^2+5x-4\;\enclose{longdiv}{x^4+0x^3-2x^2+0x+5}\kern-.2ex \\[-3pt] \underline{x^4+5x^3-4x^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\[-3pt] -5x^3+2x^2+0x\;\;\;\;\;\;\;\\[-3pt] \underline{-5x^3-25x^2+20x}\;\;\;\;\;\\[-3pt] \textcolor{blue}{27x^2-20x+5}\\[-3pt] \end{array} \)

ตัวผลหารสุดท้ายคือ 27 เพราะ \(x^2\) ต้องคูณ \(27\) ถึงจะได้ \(27x^2\) ขอทำทั้งสามขั้นตอนพร้อมกันเลยนะ (1) ผลหาร (2) คูณตัวหาร (3) ลบผลคูณ

\( \require{enclose} \begin{array}{rll} {x^2-5x\textcolor{blue}{+27}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \\[-3pt] x^2+5x-4\;\enclose{longdiv}{x^4+0x^3-2x^2+0x+5}\kern-.2ex \\[-3pt] \underline{x^4+5x^3-4x^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\[-3pt] -5x^3+2x^2+0x\;\;\;\;\;\;\;\\[-3pt] \underline{-5x^3-25x^2+20x}\;\;\;\;\;\\[-3pt] \textcolor{blue}{27x^2-20x+5}\\[-3pt] \underline{\textcolor{blue}{27x^2+135x-108}}\\[-3pt] \textcolor{blue}{-155x+113}\\[-3pt] \end{array} \)

เมื่อผลหารดีกรีน้อยกว่าตัวหารเมื่อไหร่ ก็จบ (กรณีนี้คือผลหารดีกรีหนึ่ง และ ตัวหารดีกรีสอง) เราจึงตอบว่าเศษคือ \(-155x+113\) และผลหารคือ \(x^2-5x+27\)

เรื่องหารยาว พี่เชื่อว่าถ้าน้องเข้าใจมันจะเข้าใจเลย แต่หากยังงง เรื่องนี้เป็นเรื่องที่ วิดีโอสามารถอธิบายได้ดีมากกว่ามาก ๆ ดังนั้น พี่ขออนุญาตอธิบายเพิ่มเติมและยกตัวอย่างโจทย์การตั้งหารยาวพหุนาม ไว้ในคลิปทีเดียวเลย หากใครสนใจวิธีการตั้งหารแบบละเอียด สามารถดูได้ที่คลิปด้านบนเลยนะครับ จะได้ฟังคำอธิบายไปพร้อมกับภาพประกอบ น่าจะทำให้น้องเห็นภาพมากขึ้น

ถ้า \(P(x)\) หารด้วย \(x^2-1\) ได้ผลลัพธ์ \(-3x+5\) เศษ \(x\) จงหา \(P(x)\) 

เฉลย


การหารสังเคราะห์

น้อง ๆ คงเห็นกันแล้วว่า การหารยาวพหุนาม คือแบบยาวและเยอะมาก เปลืองพลังงานมากมาย ดังนั้นการหารสังเคราะห์จึงเป็นตัวช่วยที่ดี ในการหารพหุนามที่เร็วขึ้น แต่ข้อจำกัดคือ ตัวหารจะต้องอยู่ในรูป \(x+\square\) หรือ \(x-\square\) เท่านั้น แต่จริง ๆ การหารสังเคราะห์ สามารถทำได้กับพหุนามที่ไม่ใช่สองรูปแบบที่พี่บอกมา แต่มันค่อนข้างยาก และมันเลยทำให้ กลับไปทำวิธีหารยาวดีกว่า ดังนั้น ในหลักสูตรจึงเน้นแค่หารสังเคราะห์ ที่ตัวหารเป็นได้แค่สองรูปแบบ คือ \(x+\square\) หรือ \(x-\square\)

แล้วถ้าทำได้แค่สองรูปแบบ ทำไมต้องใช้?

ในบทต่อไป น้องจะเรียนเรื่องการแยกตัวประกอบพหุนาม ซึ่งการแยกตัวประกอบ เรามักจะต้องการแยกเป็นกำลังหนึ่ง เช่น \(x^3-4x^2-7x+10\) \(=(x-1)(x+2)(x-5)\) สังเกตว่าถึงโจทย์คือดีกรี 3 แต่ตัวประกอบที่แยกได้คือดีกรี 1 หมดเลย ดังนั้น หมายความว่า เราจะต้องหาให้ได้ว่า ดีกรีหนึ่งตัวไหนบ้างเป็นตัวประกอบ = หารลงตัว = เศษจากการหารคือ 0 ดังนั้น เราก็ต้องตั้งหารยาวกัน ซึ่งเยอะ หารสังเคราะห์จึงมาว่าช่วยในพาร์ทหน้าอย่างมาก

ดูก็รู้แล้วว่าฝั่งไหนดูง่ายและน่าใช้กว่าถูกไหมน้อง ๆ บางคนบอกเลือกฝั่งซ้าย ตามสบายเลยครับ 55555 การหารสังเคราะห์ไม่มีอะไรมาก เรามาดูทีละขั้นตอนกันดีกว่าว่าทำอย่างไร (ใช้โจทย์เดิมกับในภาพนะ)

ขั้นแรก นำแค่ปสป.ตัวตั้งมาใช้ เรียงตามกำลังมากไปน้อย ถ้าไม่มีกำลังไหน ให้ใส่ 0

\( \begin{array}{c|rrrr}&1&-4&-7&10\\&&&&\\\hline\\&&&&\end{array} \)

ต่อมาให้เรานำตัวหาร เอาแค่เลขพจน์ค่าคงที่มากลับเครื่องหมาย เช่น \(x-1\) ก็จะนำ \(-1\) มากลับเครื่องหมาย เป็น \(1\)

\( \begin{array}{c|rrrr}1&1&-4&-7&10\\&&&&\\\hline\\&&&&\end{array} \)

ตัวแรกสุดให้เราชักลงมาล่างสุดเลย

\( \begin{array}{c|rrrr}1&1&-4&-7&10\\&&&&\\\hline\\&1&&&\end{array} \)

จากนั้นนำตัวที่ชักไปคูณกับตัวหาร และใส่ที่คอลัมน์ถัดไปทางด้านบน

\( \begin{array}{c|rrrr}\textcolor{blue}{1}&1&-4&-7&10\\&&\textcolor{blue}{1}&&\\\hline\\&\textcolor{blue}{1}&&&\end{array} \)

จากนั้นก็ทำแถวถัดไป โดยมีขั้นตอนซ้ำกันไปเรื่อย ๆ คือ บวกกันได้คำตอบแถวล่าง และนำไปคูณกับตัวหารให้แถวถัดไป

\( \begin{array}{c|rrrr}1&1&\textcolor{blue}{-4}&-7&10\\&&\textcolor{blue}{1}&&\\\hline\\&1&\textcolor{blue}{-3}&&\end{array} \)

คูณส่งต่อให้แถวถัดไป

\( \begin{array}{c|rrrr}\textcolor{blue}{1}&1&-4&-7&10\\&&1&\textcolor{blue}{-3}&\\\hline\\&1&\textcolor{blue}{-3}&&\end{array} \)

\( \begin{array}{c|rrrr}1&1&-4&\textcolor{blue}{-7}&10\\&&1&\textcolor{blue}{-3}&\\\hline\\&1&-3&\textcolor{blue}{-10}&\end{array} \)

\( \begin{array}{c|rrrr}\textcolor{blue}{1}&1&-4&-7&10\\&&1&-3&\textcolor{blue}{-10}\\\hline\\&1&-3&\textcolor{blue}{-10}&\end{array} \)

\( \begin{array}{c|rrrr}1&1&-4&-7&\textcolor{blue}{10}\\&&1&-3&\textcolor{blue}{-10}\\\hline\\&1&-3&-10&\textcolor{blue}{0}\end{array} \)

เมื่อเราทำจนสุด เราสามารถดูได้สองอัน (1) ผลหาร (2) เศษ ตัวเศษคือตัวขวาสุดแถวล่าง ส่วนที่เหลือคือผลหาร โดยเราสามารถไล่จากซ้ายไปขวา จากดีกรีสูงสุดลดลงไปทีละ 1 สังเกตว่า ตัวตั้งเราดีกรี \(3\) และตัวหารดีกรี \(1\) ดังนั้น คำตอบเราจะต้องได้ดีกรี \(2\) (หรือ \(3-1\) นั่นเอง) ดังนั้นเลขที่เราได้คือ \(1\;-3\;-10\) จะเป็นสปส.ของดีกรี \(2\;1\;0\) ดังนั้นผลหารเราคือ \(x^2-3x-10\) และเศษ \(0\) (หารลงตัว = เป็นตัวประกอบ)

และก็อย่างที่บอก หากคำพูดมันดูยาก น้อง ๆ สามารถดูวิธีการทำละเอียดจากคลิปวิดีโอด้านบนนะครับ แล้วพาร์ทหน้าเราจะไปดูเรื่อง การแยกตัวประกอบพหุนามและทฤษฎีบทเศษเหลือกัน

หากบทความพี่เป็นประโยชน์ ฝากแชร์ต่อให้เพื่อนๆ ด้วยนะครับ :')