ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ ม.4 - ตรรกศาสตร์


อ่าน 1,954 ครั้ง

อยากดูแบบวิดีโอ? (พาร์ท 1)

(พาร์ท 2)

เข้าหาบทความพี่ง่ายๆ จาก Google

ตรรกศาสตร์ ม.4
ตรรกศาสตร์ ม.4

ประโยคเปิด

ประโยคเปิด คือ ประโยคที่มีตัวแปร เช่น \(x+1\lt 5\) หรือ เขาไม่ได้ชอบเรา ประโยคแรก มี \(x\) เป็นตัวแปร ส่วนอันสองมี เขา เป็นตัวแปรเช่นเดียวกัน

หากน้อง ๆ จำได้ เราเคยคุยกันไปแล้วว่า \(x+1\lt 5\) ไม่ใช่ ประพจน์ เพราะ หาค่าความจริงแน่นอนไม่ได้ หากเราแทน \(x\) เป็น 1 จะได้ \(1+1<5\) ซึ่งเป็นจริง แต่หากแทน \(x\) เป็น 10 จะได้ \(10+1\lt 5\) ซึ่งเป็นเท็จ

ดังนั้น \(x+1\lt 5\) ไม่ใช่ประพจน์ แต่ คือประโยคเปิด นั่นเอง และเมื่อมันมีตัวแปร เราก็สามารถแทนค่าเข้าในตัวแปรได้ เมื่อเราแทนค่าที่ตัวแปร น้อง ๆ จะเห็นว่า เราสามารถหาค่าความจริงได้แล้ว

ประโยคเปิดมีตัวแปร เมื่อแทนค่าในตัวแปร สามารถหาได้ว่า จริงหรือเท็จ

ฝึกง่าย ๆ โดยการมองให้ออกก่อนว่า ประโยคไหนเป็นประโยคเปิด จงหาว่าประโยคต่อไปนี้เป็นประพจน์ / ประโยคเปิด / หรือ ไม่ใช่ทั้งคู่

เขากำลังจะไปเรียนต่อต่างประเทศใช่หรือไม่

เฉลย

\(\dfrac{1}{2}x-x^2\ge 10\) 

เฉลย

\(\{\}\subset\{1,\{1,2\}\}\) 

เฉลย

\(x+5\) 

เฉลย


ตัวบ่งปริมาณ

ประโยคเปิดเราบอกไปแล้วว่าเราจะต้อง มีการแทนค่าตัวแปร เช่น \(x+6\ge 5\) เราจะต้องแทน \(x\) เป็นตัวเลข แล้วถามว่า ขอบเขตเลขที่เราจะแทนคืออะไร (ต้องแทนเลขไหนบ้าง?)

เราจะแทนทั้งหมดที่อยู่ใน เอกภพสัมพัทธ์ ที่โจทย์กำหนดให้ครับน้อง ๆ สมมติ โจทย์บอกว่า

\(\mathbb{U}=\{-1, 0, 1\}\) ในประโยคเปิด \(x+6\ge 5\) 

เราก็ต้องทำการแทน \(x\) ทั้งหมด 3 ตัว คือ -1, 0, 1 ตัวอื่น ๆ ที่อยู่นอกเอกภพสัมพัทธ์ ไม่สนใจ เมื่อแทนจะได้ประพจน์ดังนี้

น้อง ๆ จะเห็นว่าทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ เมื่อแทนแล้ว ได้ประพจน์ที่เป็นจริงเสมอ เราเลย จะพูดว่า สำหรับ x ทุกตัว \(x+6\ge 5\) เมื่อเอกภพสัมพัทธ์ \(\mathbb{U}=\{-1,0,1\}\) 

พูดง่าย ๆ ว่า ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ ทำให้ประโยคเปิด \(x+6\ge 5\) เป็นจริงเสมอเลยนะ

บางกรณีเราอาจจะไม่ได้ทุกตัว เช่น สมมติ \(x\ge 0\) เมื่อ \(\mathbb{U}=\mathbb{R}\) (จำนวนจริง) สังเกตว่า ถ้าเราแทน จำนวนจริงลบเข้าไปใน \(x\) ประพจน์จะไม่เป็นจริง แต่ถ้าแทนจำนวนจริงบวก จะได้ประพจน์ที่เป็นจริง ดังนั้น เราจะบอกว่า มี \(x\) บางตัว ที่ \(x\ge 0\) เมื่อ เอกภพสัมพัทธ์เป็นจำนวนจริง

คำว่า ทุกตัว \(\forall\) กับ บางตัว \(\exists\) นี่แหละครับน้อง ที่เราจะเอามาใช้ เป็น ตัวบ่งปริมาณ กันในเรื่องนี้

การไม่บอกเอกภพสัมพัทธ์ เราถือว่าเอกภพสัมพัทธ์เป็นจำนวนจริง \(\mathbb{R}\)

\(\forall\;\) สำหรับ x ทุกตัว

ตัวอย่างเช่น "สำหรับ \(x\) ทุกตัว \(x+0=x\)" หรือ "สำหรับ \(x\) ทุกตัว \(x+5\ge 6\)"

ถ้าเราใส่ ตัวบ่งปริมาณแบบ \(\forall\) (อ่านว่า for all) ไว้ข้างหน้าประโยคเปิด \(x\) ต้อง เป็นจริงทุกค่า ถึงจะทำให้ประโยคเป็นจริง

"สำหรับ \(x\) ทุกตัว \(x+0=x\)" เขียนเป็นภาษาตรรกศาสตร์ว่า \(\forall x[x+0=x]\) เป็นจริง เพราะ \(x+0=x\) อยู่แล้ว ดังนั้น \(x\) เป็นอะไร สมการก็เป็นจริงตลอด

"สำหรับ \(x\) ทุกตัว \(x+5\ge 6\)" เขียนเป็นภาษาตรรกศาสตร์ว่า \(\forall x[x+5\ge 6]\) เป็นเท็จ เพราะ ไม่ใช่ \(x\) ทุกตัวที่อสมการเป็นจริง เช่น หากเราแทน \(x=-10\) จะได้ว่า \(-10+5=-5\not\ge6\)

\(\exists\;\) สำหรับ x บางตัว

ตัวอย่างเช่น "มี \(x\) บางตัวที่ \(x+1=5\)" หรือ "มี \(x\) บางตัวที่ \(x^2\lt 0\)"

ถ้าเราใส่ ตัวบ่งปริมาณแบบ \(\exists\) (อ่านว่า exists หรือ บางคนก็เรียกว่า for some) ไว้ข้างหน้าประโยคเปิด \(x\) เป็นจริงอย่างน้อย 1 ตัว จะทำให้ประโยคเป็นจริงเลย (จริง ๆ มันก็ตรงตัว ก็ มี \(x\) บางตัวไง ดังนั้น ถ้ามีตัวนึงที่เราแทนแล้วมันเป็นจริง ก็ถือว่าประโยค \(\exists\) เป็นจริง)

"มี \(x\) บางตัวที่ \(x+1=5\)" เขียนได้ว่า \(\exists x[x+1=5]\) เป็นจริง เพราะ ถ้าเราแทน \(x\) เป็น 4 จะได้ว่า \(4+1=5\) เป็นจริง

"มี \(x\) บางตัวที่ \(x^2\lt 0\)" เขียนได้ว่า \(\exists x[x^2\lt 0]\) เป็นเท็จ เพราะ เอกภพสัมพัทธ์คือจำนวนจริง และจำนวนจริงทุกตัวยกกำลังสองต้องเป็นบวก ดังนั้น ไม่มีทาง น้อยกว่า 0 แน่นอน แปลว่า ไม่มี \(x\) สักตัวเลย ดังนั้น \(\exists x[x^2\lt 0]\equiv F\)

เราจึงสรุปได้ตามภาพด้านบน (เรามักเขียนแทนประโยคเปิดด้วย ตัวพิมพ์ใหญ่ที่สามารถใส่ค่าตัวแปร x ได้ เช่น P(x), Q(x) เป็นต้น) พี่อยากให้น้องลองอ่านภาพด้านบน แล้วลองคุยวิเคราะห์กับตัวเองดูว่ามันเมคเซ้นส์หรือเปล่า ถ้าเก็ทแล้วด้วยตัวน้องเอง เดี๋ยวเราไปตะลุยโจทย์กันต่อด้านล่างกันเลย


ตัวอย่างโจทย์

สมมติ กำหนดให้ \(\mathbb{U}=\{-2, -1, 0, 1, 2\}\)

\(\forall x[x^2\le 4]\) เป็นจริง เพราะ ถ้าไล่แทนค่าใน \(\mathbb{U}\) ตั้งแต่ \(-2\) ถึง \(2\) ทั้งหมดยกกำลังสองจะน้อยกว่าหรือเท่ากับ \(4\) ทั้งหมด

\(\exists x[x^3-1\lt 0]\) เป็นจริง เพราะ หากแทน \(x=-2\) จะได้ \(-7\lt0\) เป็นจริง (\(\exists\) มีแค่ตัวเดียวได้ ก็จริงเลย)

\(\exists x[x-2\gt 1]\) เป็นเท็จ เพราะไม่มีตัวไหนเลยใน \(\mathbb{U}\) ที่ทำให้อสมการเป็นจริง หากน้องลองแทนดู

ลองไปทำโจทย์ด้านล่าง เพื่อความเข้าใจที่มากขึ้นกัน อย่าลืมว่าหากสนใจสามารถดูวิดีโอที่หน้าบนเพจนี้ได้เลยนะครับน้อง ๆ

\(\forall x[5+x\neq 5]\) จริงหรือเท็จ

เฉลย

\(\exists x[\;x\) เป็นจำนวนนับหรือเป็นจำนวนเฉพาะ\(\;]\) เมื่อ \(\mathbb{U}=\{0,2,4,6\}\) จริงหรือเท็จ

เฉลย

จงหาค่าความจริงของ \(\forall x[x^2\lt 0\to x\ge 0]\)

เฉลย

จงหาค่าความจริงของ \(\forall x[x^2\lt 0]\to\forall x[x\ge 0]\)

เฉลย

ด้านบนน้องจะเจอโจทย์ที่เริ่มยากขึ้น พี่ขอแถมให้อีกสองข้อ เพื่อให้น้องเห็นภาพกันมากขึ้น

จงหาค่าความจริงของ \(\exists x[x\ge 0\to x^2\lt 0]\)

เฉลย

จงหาค่าความจริงของ \(\exists x[x\ge 0]\to\exists x[x^2\lt 0]\)

เฉลย


ประโยคเปิดสองตัวแปร (หลักสูตรเก่า)

เนื่องจากเป็นเรื่องเดียวกัน แต่หลักสูตร 2560 ที่ปรับปรุงโดย สสวท. ได้ทำการตัดส่วนนี้ออกไป ส่วนตัวพี่คิดว่า เค้าคงคิดว่ามันมีความซับซ้อนมากขึ้น ดังนั้น ไม่ว่าจะโดนตัดหรือไม่โดนตัด พี่ก็จะสอนอยู่ดี 55555+ เพราะพี่ว่ามันไม่ได้ยาก และถ้าอนาคตข้อสอบออก น้องจะได้ไม่งงกัน รูปแบบหน้าตามันจะเป็นประมาณนี้

เห็นก็น่ากลัวแล้วเนอะ แต่จริง ๆ ไอเดียไม่ได้ยากครับน้อง ๆ มันคือประโยคเปิดที่มีสองตัวแปร เช่น \(x+y\gt 0\) ก็มีตัวแปร \(x\) กับ \(y\) เวลาเรามีเอกภพสัมพัทธ์ \(\mathbb{U}\) เราก็เลือกตัวเลขมาแทนในตัวแปร ทั้ง \(x\) และ \(y\) (ไม่ต้องเป็นเลขเดียวกันก็ได้นะ)

\(\forall x\forall y\;\) ทุกคู่ \(x,y\) เป็นจริง

ตัวอย่าง \(\forall x\forall y[x+y\ge 1]\) โดยที่ \(\mathbb{U}=\{0, 1\}\) เราต้องทำทุกกรณี กล่าวง่าย ๆ คือ \(x\) เป็นได้ทั้งหมดใน \(\mathbb{U}\) และ \(y\) ก็เช่นกัน ดังนั้นต้องจับคู่ทั้งหมด

\(x=0, y=0\) เป็นเท็จ เพราะ \(0+0\ge 1\) ไม่จริง
\(x=0, y=1\) เป็นจริง เพราะ \(0+1\ge 1\) จริง
\(x=1, y=0\) เป็นจริง เพราะ \(1+0\ge 1\) จริง
\(x=1, y=1\) เป็นจริง เพราะ \(1+1\ge 1\) จริง

ดังนั้น \(\forall x\forall y[x+y\ge 1]\equiv F\) เพราะว่า ไม่ใช่ทุกคู่เป็นจริง กรณี \(x=0, y=0\) ไม่จริง

\(\exists x\exists y\;\) มี \(x,y\) คู่เดียวพอเป็นจริง

ที่เอา \(\exists\exists\) มาก่อน เพราะ \(\exists\exists\) เป็นอีกตัวที่เข้าใจง่าย คือเราต้องการ x บางตัว y บางตัว มันก็แปลว่า มี \(x, y\) คู่เดียวเป็นจริงก็พอ ตัวอย่าง จงหาค่าความจริงของ \(\exists x\exists y[x+y\gt 2]\) เมื่อ \(\mathbb{U}=\{-1,0,1\}\)

เราต้องการหา \(x, y\) คู่เดียวที่บวกกันเกิน 2 แต่ตัวมากสุดในเอกภพสัมพัทธ์คือ \(1\) หากเราอยากได้ผลบวกมาก ๆ เราก็ต้องพยายามให้ ทั้ง \(x\) และ \(y\) มากสุดเท่าที่เป็นไปได้ เราเลยกำหนด \(x=1, y=1\) แต่ปรากฎว่า ยังไม่สามารถทำให้ผลบวกเกิน \(2\) ได้ เพราะ \(1+1=2\not\gt2\)

แปลว่าไม่มี \(x, y\) สักคู่เลยที่ทำให้อสมการเป็นจริง ดังนั้น \(\exists x\exists y[x+y\gt 2]\equiv F\)

คำแนะนำ

สองข้อถัดไป พี่อยากให้น้องมองว่า ลำดับสำคัญ ก็คือ เราจะเลือก \(x\) ก่อนแล้วจึงเลือก \(y\) จะมองภาพง่ายขึ้น

\(\forall x\exists y\;\) ทุก \(x\) ต้องมี \(y\) อย่างน้อย 1 ตัวเป็นจริง

ตรงตัวครับน้อง ๆ \(\forall x\exists y\) อ่านว่า for all x for some y ก็คือ ทุก x บาง y แปลว่า เราต้องแทน \(x\) เป็นทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ และแต่ละค่า \(x\) ที่แทน จะต้องมีค่า \(y\) อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ประโยคเปิดเป็นจริง

สมมติ เราจะหาค่าความจริงของ \(\forall x\exists y[x\lt y]\) เมื่อ \(\mathbb{U}=\{-1,0,1\}\) แปลว่า ทุก \(x\) นะ ก็คือ ทุกเลข \(-1, 0, 1\) เนี่ย มันจะต้องมี \(y\) ตัวนึงที่มากกว่ามัน จากโจทย์ที่ว่า \(x\lt y\) แต่หากน้องสังเกต ถ้าเราให้ \(x=1\) เราไม่มีทางหา \(y\) ในเอกภพสัมพัทธ์ที่ มีค่ามากกว่า \(x\) ได้แล้ว เพราะ \(1\) มันมากสุดใน \(\mathbb{U}\) แล้วยังไงหล่ะ ดังนั้น \(\forall x\exists y[x\lt y]\equiv F\) เพราะว่า ไม่ใช่ทุก \(x\) ที่หา \(y\) ที่เป็นจริงได้เจอ

เสริม : ถ้าเราเลือก \(x=0\) เราสามารถเลือก \(y=1\) ได้ โดยประโยคจะเป็นจริงและ ดังนั้น \(x=0\) ถือว่าผ่าน เราก็ต้องไปทำ \(x\) ตัวอื่นต่อ อย่าลืมว่าข้อนี้คือ \(\forall x\) ดังนั้น ต้องหา \(y\) ให้เจอสำหรับ ทุก \(x\)

\(\exists x\forall y\;\) มีบาง \(x\) ที่มี \(y\) ทุกตัวเป็นจริง

อันนี้จะกลับด้าน แต่ก็ตามชื่อที่ว่า for some x for all y ก็คือ บาง x ทุก y มันจะเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อ น้องเจอ \(x\) แค่ตัวเดียวนะ ที่มันไม่ว่าจะจับคู่กับ \(y\) ตัวไหนก็เป็นจริงเสมอ ตัวอย่าง สมมติว่าเรามี \(\exists x\forall y[x\le y]\) เมื่อ \(\mathbb{U}=\{-1,0,1\}\) ถ้ามองภาษาคน ก็คือ มีไหมนะสักตัว \(x\) ที่ไม่ว่าจะจับใครมาคู่ \(y\) มันก็มากกว่าหรือเท่ากับเสมอ

มีครับ ถ้าเราให้ \(x\) เป็นตัวน้อยสุดใน \(\mathbb{U}\) ไงจริงมั้ยน้อง ๆ ถ้าเราทำแบบนี้ ไม่ว่า \(y\) จะเป็นตัวไหน เราก็สามารถทำให้ \(x\le y\) ได้เสมอ ดังนั้น \(\exists x\forall y[x\le y]\equiv T\)


นิเสธของตัวบ่งปริมาณ

เรื่องสุดท้ายแล้วของ ตรรกศาสตร์ ทั้งบทของ ม.4 เมื่อจบแล้ว อย่าลืมว่าน้อง ๆ สามารถ เข้าไปดูพาร์ทตะลุยโจทย์เพิ่มเติมกันได้ที่หน้าหลัก ตรรกศาสตร์ ม.4 นะครับ เนื้อหาพาร์ทนี้ จะเป็นการนำ นิเสธไปรวมอยู่กับตัวบ่งปริมาณ เช่น \(\mathord{\sim}\forall x[P(x)]\) หรือ \(\mathord{\sim}\forall x\exists y[Q(x,y)]\)

ไอเดียหลัก ๆ เลยคือ ตัวบ่งปริมาณจะกลับกัน \(\forall\leftrightarrow\exists\) และ เอานิเสธเข้าไปข้างใน

ตามภาพด้านบนเลยครับน้อง ๆ กระจายนิเสธเข้าไปได้ ตัวบ่งกลับ และนิเสธไปอยู่ข้างใน ตัวอย่างเช่น หากเรามี \(\mathord{\sim}\forall x[x\gt 0]\equiv\exists x[x\le 0]\) สังเกตว่า ตัวบ่งกลับ และพอพี่เอานิเสธเข้าไปข้างในจาก \(x\gt0\) เลยกลายเป็น \(x\le0\)

ระวังว่า การกลับเครื่องหมาย \(\lt\) หรือ \(\gt\) เวลากลับต้องคำนึง "เท่ากับ" ด้วย เช่น ตรงข้ามกับ \(\lt\) คือ \(\ge\) ไม่ใช่ \(\gt\)

จงหานิเสธของ  \(\exists x[x\lt0]\to\forall x\exists y[x+y\ge0]\)

เฉลย

หากบทความพี่เป็นประโยชน์ ฝากแชร์ต่อให้เพื่อนๆ ด้วยนะครับ :')