ตัวผกผันของความสัมพันธ์ ม.4


อ่าน 85 ครั้ง

อยากดูแบบวิดีโอ? (อยู่ระหว่างการจัดทำคลิป)

อะไรคือผกผัน (Inverse)

ไอเดียง่าย ๆ เลยการผกผัน หรือที่เราเรียกกันว่า Inverse (อินเวอร์ส) นั้น คือ

การกลับ \(x\) เป็น \(y\) กลับ \(y\) เป็น \(x\)

ยกตัวอย่างเช่น หากเรามีความสัมพันธ์ \(r=\{(1,2), (3,4)\}\) เราจะได้อินเวอร์สของความสัมพันธ์นี้ ว่า \(r^{-1}=\{(2,1),(4,3)\}\) กล่าวง่าย ๆ คือ

ทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ ถ้าน้องลองเทียบมันเป็น \((x,y)\) เราจะสร้างคู่อันดับใหม่ คือ \((y,x)\) นั่นเอง อย่างเช่นในตัวอย่าง \((1,2)\) เป็นคู่อันดับในความสัมพันธ์ \(r\) ดังนั้น ใน อินเวอร์สของ \(r\) หรือที่เราเขียนเป็นสัญลักษณ์ว่า \(r^{-1}\) เราจะได้ว่า \((2,1)\) อยู่ใน \(r^{-1}\)

สรุป เป็นภาษาคณิตศาสตร์ ได้ว่า ตัวผกผันของความสัมพันธ์ คือ ความสัมพันธ์ \((y,x)\) สลับที่ โดย \(y\) มาจาก \(B\) เหมือนเดิม และ \(x\) มาจาก \(A\) เหมือนเดิม เราเลยได้ว่า \((y,x)\in B\times A\)

\(r^{-1}=\{(y,x)\in B\times A\;|\;(x,y)\in r\}\)


ตัวอย่างการหาตัวผกผันของความสัมพันธ์

สมมติมีโจทย์อยู่ว่า \(r=\{(x,y)\;|\;y=\sqrt{x+6}\}\) เราจะหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์นี้ วิธีง่ายสุดเลยก็สลับคู่อันดับ \((x,y)\) เป็น \((y,x)\) ดังนี้

\(r^{-1}=\{(y,x)\;|\;x-1=\sqrt{y+6}\}\)

แต่ (1) โดยปกติแล้วเราจะไม่นิยมเขียนแบบนี้ เพราะ จริง ๆ \(r^{-1}\) ถ้ามันอยู่ในโลกของตัวมันเอง มันก็เป็นความสัมพันธ์อันนึงดี ๆ นี่เอง สมมติพี่แทนชื่อเป็น ความสัมพันธ์ \(r_1\) เราจะได้ว่า \(r_1=\{(y,x)\;|\;y=\sqrt{x+6}\}\)

ซึ่งการเขียนคู่อันดับปกติเราจะเขียน \((x,y)\) แบบนี้ ดังนั้น เราจะไม่ใช้วิธีนี้ในการเขียนคำตอบ

แล้วถ้าเรายังคง \((x,y)\) ไว้ เราจะต้องไปสลับ \(x\) กับ \(y\) ที่ไหนล่ะ ? เราจะสลับที่ตัวเงื่อนไข (สมการ) กันนั่นเอง

\(r^{-1}=\{(x,y)\;|\;\textcolor{blue}{x}=\sqrt{\textcolor{blue}{y}+6}\}\)

แต่ (2) เราก็ยังไม่ชอบอยู่ดี เพราะ สมการเป็นรูป \(x=\) อะไรของ \(y\) ซึ่งปกติเรามักนิยมเขียน \(y=\) อะไรของ \(x\) ดังนั้น เราจะจัดรูปสมการกลับเป็น \(y=\) อะไรของ \(x\) ด้วยนั่นเองครับ

\(\require{cancel} \begin{aligned} x&=\sqrt{y+6}\\ x^2&=y+6\;\;\;,\;\;\;x\ge 0\\ x^2-6&=y \end{aligned}\)

สรุปได้ว่า \(r^{-1}=\{(x,y)\;|\;y=x^2-6,x\ge 0\}\) อย่าลืมตรงเงื่อนไขการจัดรูปสมการที่เราเรียนกันไปแล้วในตอนที่แล้ว เรื่อง การหาเรนจ์ กันนะครับ ข้อนี้ เนื่องจาก \(x=\sqrt{y+6}\) เป็นรูปสมการตั้งต้น แปลว่า \(x\ge 0\) เสมอ เพราะเป็นคำตอบของ รูท นั่นเอง

หา \(r^{-1}\) เมื่อ \(r=\left\{(x,y)\;|\;y=\dfrac{x-1}{2x+3}\right\}\)

เฉลย

หา \(r^{-1}\) เมื่อ \(r=\left\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=4\right\}\)

เฉลย

หากบทความพี่เป็นประโยชน์ ฝากแชร์ต่อให้เพื่อนๆ ด้วยนะครับ :')