เลือกอ่านตามหัวข้อ?
เกริ่น : การดำเนินการของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเรามักนิยมเจอในรูปแบบการเขียน \(f(x)\) ซึ่งหากน้อง ๆ มีฟังก์ชันหลาย ๆ ตัวขึ้นไป เราก็จะเจอ \(f(x), g(x), h(x), \dots\) ประมาณนี้ ซึ่งฟังก์ชันก็เหมือนตัวเลขครับ หรือเหมือนเซตที่เราเคยเรียน มันสามารถนำมากระทำกันได้ เช่น การบวก ลบ คูณ หาร เป็นต้น
หลักการก็ง่าย ๆ เรารู้ไปแล้วว่าเวลาเรามองฟังก์ชัน \(f(x)\) ให้เรามองว่า \(f\) คือ เครื่องจักรอันนึง โดยที่เราใส่ค่า \(x\) เป็น Input เข้าไป มันคืนค่ากลับออกมาคือ \(y=f(x)\) ทีนี้แปลว่าอะไร ? แปลว่า สมมติเรามี เครื่องจักรสองอัน \(f\) กับ \(g\) เราอยากนำสองฟังก์ชันมาบวกกัน \(f+g\) เราก็จะไปดูว่า ถ้าเราใส่ \(x\) เข้าไปใน \(f\) มันคืนค่าเราเป็นอะไร แล้วถ้าทำนองเดียวกัน เราใส่ค่า \(x\) ใน \(g\) มันคืนค่าเรากลับเป็นอะไร แล้วนำมาบวกกัน
ตัวอย่าง สมมติ \(f,g\) เป็นฟังก์ชัน โดยที่ \(f(1)=5\) และ \(g(1)=7\) โจทย์ถามหา \((f+g)(x)\) ก็นำผลลัพธ์จากทั้งสองฟังก์ชันมาบวกกัน \((f+g)(1)=5+7=12\) นั่นเอง ซึ่งน้อง ๆ มักจะเจอการเขียนในรูปแบบทางการว่า
\((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)
ในทำนองเดียวกันกับตัวดำเนินการของฟังก์ชันตัวอื่น ๆ เราก็จะได้ว่า
\(\require{cancel} \begin{aligned} (f-g)(x)&=f(x)-g(x)\\ (fg)(x)&=f(x)g(x)\\ \left(\dfrac{f}{g}\right)(x)&=\dfrac{f(x)}{g(x)}\;\;\;\;\;\;\;\;,\;\;\;g(x)\neq 0 \end{aligned}\)
ตัวอย่างโจทย์ สมมติให้ \(f=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\) และ \(g=\{(2,4),(3,6),(4,8)\}\)
จงหา \((f+g)(x)\) หลักการคือ เราจะดูว่า ค่า \(x\) (ตัวหน้าของคู่อันดับ) ไหนบ้างที่มีทั้งใน \(f\) และ \(g\) ถ้ามันไม่มีในตัวใดตัวหนึ่ง เราจะไม่สนใจค่า \(x\) นั่นทันที เช่น \(x=1\) ในฟังก์ชัน \(f\) เรามีในคู่อันดับ \((1,2)\) แปลง่าย ๆ ว่า \(f(1)=2\) นะ แต่ใน \(g\) เราไม่มีเลยที่ตัวหน้าเป็น \(1\) ดังนั้น เราจึงจะไม่สนใจเมื่อ \(x=1\) นั่นเอง
ทีนี้เรามี \(x\) ไหนบ้างที่มีทั้งใน \(f\) และ \(g\) เราได้ว่า \(x=2,3\) เราก็จับมาบวกกัน คือ ตอนที่ \(x=2\) ก่อน \((f+g)(2)=f(2)+g(2)=3+4=7\) ดังนั้น เราได้มาแล้ว 1 คู่อันดับก็คือ \((2,7)\) ว่าเป็นคู่อันดับในความสัมพันธ์ของ \((f+g)(x)\) นะ
อีกตัวเมื่อ \(x=3\) เราจะได้ว่า \((f+g)(3)=f(3)+g(3)=4+6=10\) ดังนั้น \((3,10)\) เป็นคู่อันดับในความสัมพันธ์ \((f+g)(x)\) ด้วยเช่นกัย
ตอบว่า \((f+g)(x)=\{(2,7),(3,10)\}\)
โดเมนการดำเนินการของฟังก์ชันใด ๆ
สมมติว่าเราเจอโจทย์ที่ให้มาในรูปแบบของสมการ ไม่ใช่คู่อันดับ เช่น \(f(x)=x+2\) และ \(g(x)=6-x\) โจทย์ให้เราหา \((f-g)(x)\)
วิธีทำก็คือ ตั้งสมการได้เลยครับ เรารู้ว่า
\(\require{cancel} \begin{aligned} (f-g)(x)&=f(x)-g(x)\\ &=(x+2)-(6-x)\\ &=2x-4 \end{aligned}\)
ดังนั้น สรุปโดยรวมแล้วเรื่องการดำเนินการของฟังก์ชัน ก็แค่นำไปคิดแต่ละฟังก์ชันแยก เมื่อได้ผลลัพธ์ก็นำมากระทำด้วยตัวดำเนินการนั้น ๆ ง่าย ๆ เลยครับ ข้อควรระวังก็มีแค่ว่า เราจะสนใจเฉพาะ โดเมนที่ปรากฎในทั้งสองฟังก์ชัน นะ
\(\require{cancel} \begin{aligned} D_{f\bigoplus g}&=D_f\cap D_g \end{aligned}\)
สมมติว่า \(\bigoplus\) เป็นการดำเนินการใด ๆ เช่น บวก ลบ คูณ (\(+,-,\times\)) สมการด้านบนบอกเราว่า โดเมนของการดำเนินการของฟังก์ชัน ก็คือ นำโดเมนสองฟังก์ชันมาอินเตอร์เซคกันนั่นเองครับ แต่ข้อควรระวัง คือ การดำเนินการหาร \(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\) ถ้า \(g(x)=0\) จะไม่นิยาม ดังนั้น
\(\require{cancel} \begin{aligned} D_{\dfrac{f}{g}}&=(D_f\cap D_g)-\{x\;|\;g(x)=0\} \end{aligned}\)
โดเมนของการหารฟังก์ชัน จะนำโดเมนมาอินเตอร์เซคกัน แต่ต้องลบตัว \(x\) ที่ทำให้ \(g(x)\) เป็น \(0\) ออกด้วยนั่นเอง
ฟังก์ชันประกอบ
ในเรื่องของฟังก์ชันประกอบ อยากให้มองง่าย ๆ ว่ามันคือการนำฟังก์ชันมาทำงานต่อ ๆ กัน เช่นเรามีอินพุต \(x\) เราจะนำ \(x\) ไปใส่ให้ \(f\) จากนั้นเราจะได้ \(f(x)\) ออกมา ซึ่ง \(f(x)\) ก็เป็นตัวเลขเช่นกัน ถ้ามองง่าย ๆ เราจะนำตัวเลขนี้ \(f(x)\) ไปใส่เป็นอินพุตของอีกฟังก์ชัน \(g\) แปลว่าในเชิงคณิตศาสตร์แล้ว เหมือนเราเขียนแบบนี้ \(g(f(x))\) ก็คือการนำ \(f(x)\) ไปใส่ใน \(g\) จากนั้น \(g\) ก็จะคืนค่ากลับมา เรียกค่านี้ว่า \(z\) และกัน
น้องจะได้ว่า \(g(f(x))=z\) ซึ่งการเขียนแบบนี้มันก็ดูไม่คูล เราเลยมีสัญลักษณ์ที่ใช้กัน คือ \(g(f(x))=g\circ f(x)\)
ตัวอย่าง \(f(x)=\{(1,2),(3,4),(5,6)\}\) และ \(g(x)=\{(2,4),(4,8),(6,1)\}\) จงหา \(g\circ f(1)\) และ \(f\circ g(6)\)
\(\require{cancel} \begin{aligned} g\circ f(1)&=g(f(1))\\ &=g(2)\\ g\circ f(1)&=4 \end{aligned}\)
\(\require{cancel} \begin{aligned} f\circ g(6)&=f(g(6))\\ &=f(1)\\ f\circ g(6)&=2 \end{aligned}\)
ส่วนมากโจทย์ที่เราจะเจอคือ โจทย์ที่ให้หาฟังก์ชันประกอบของฟังก์ชันที่เป็นสมการนั่นเองครับ เช่น กำหนดให้ \(f(x)=x-5\) และ \(g(x)=x^2\) จงหา \(g\circ f(x)\) และ \(f\circ g(x)\)
นำมาดูที่ตัว \(g\circ f(x)\) กันก่อน
ขั้นแรก ให้เราเขียนสมการออกมาก่อนในรูปปกติ คือ \(g(f(x)\) และทำจากในมานอก ให้แทน \(f(x)=x-5\) ตามที่โจทย์บอกตรง ๆ เลยครับ เพราะนี่คือสิ่งที่เราจะได้จาก \(f\) เมื่อนำ \(x\) เข้าไป
\(\require{cancel} \begin{aligned} g\circ f(x)&=g(\textcolor{blue}{f(x)})\\ &=g(\textcolor{blue}{x-5})\\ \end{aligned}\)
ต่อมาเราได้ \(g(x-5)\) สำหรับคนที่ยังไม่ชินกับอินพุตเป็นก้อนที่ไม่ใช่ \(x\) พี่แนะนำแบบนี้ครับ ให้เราแทนตัวอินพุตเป็นกล่องสี่เหลี่ยม \(\boxed{x-5}\) แล้วสมการ \(g(x)=x^2\) จริง ๆ แล้ว มันก็คือเราแทนอินพุตเป็น \(x\) แต่จริง ๆ แล้วเราจะแทนด้วยตัวอะไรก็ได้ เช่น สี่เหลี่ยม \(g(\square)=\square^2\) เราจะนำกล่องที่มี \(x-5\) ไปใส่แทน ได้ดังนี้
\(\require{cancel} \begin{aligned} g(\square)&=\square^2\\ g(\boxed{x-5})&=\boxed{x-5}^2\\ \end{aligned}\)
การปลดกล่องง่าย ๆ ก็คือปลดได้เลยครับ แต่เรา ควรใส่วงเล็บทุกครั้ง เพื่อไม่ให้สับสนเวลาจัดรูปสมการ
\(\require{cancel} \begin{aligned} g(\boxed{x-5})&=\boxed{x-5}^2\\ g(x-5)&=(x-5)^2\\ \end{aligned}\)
ดังนั้นคำตอบก็คือ \(g\circ f(x)=(x-5)^2\)
หากบทความพี่เป็นประโยชน์ ฝากแชร์ต่อให้เพื่อนๆ ด้วยนะครับ :')