สมการพหุนาม - จำนวนจริง ม.4


อ่าน 429 ครั้ง

อยากดูแบบวิดีโอ? (อยู่ระหว่างการจัดทำคลิป)

การแก้สมการพหุนาม

บทก่อน ๆ เรารู้วิธีการแยกตัวประกอบพหุนามกันมาเยอะแล้ว ซึ่งพี่เคยเกริ่นไปแล้วว่า เราจะนำมาช่วยในการแก้สมการนั่นเอง โดยหลักการเหมือนสมการพหุนามกำลังสองตัวแปรเดียว ที่น้องเคยเรียนกันใน ม.3 นั่นก็คือ

จัดฝั่งขวาเป็น 0 และแยกตัวประกอบพหุนาม คำตอบของสมการคือ วงเล็บ 1 เป็น 0 หรือ วงเล็บ 2 เป็น 0 ไปเรื่อย ๆ ตามจำนวนวงเล็บที่เราแยกได้

แต่ละวงเล็บมิสิทธิเป็น 0

หากเรามี \(xyz=0\) ทั้งหมดคูณกันหมด และมันได้ 0 มันแปลว่า ต้องมีบางตัวแหละที่เป็น 0 ดังนั้นการแก้สมการ เราเลยกำหนดให้แต่ละตัวเป็น 0 คือ \(x=0\) หรือ \(y=0\) หรือ \(z=0\) แต่สมการพหุนามมันแยกออกมาเป็นวงเล็บของพหุนาม ดังนั้น มันเลยเป็น ก้อน ๆ = 0 แทนนั่นเอง

ตัวอย่าง \(x^2-4x-12=0\) แยกได้เป็น \((x-6)(x+2)=0\) ดังนั้น แต่ละวงเล็บมีสิทธิเป็น 0 แปลว่า \(x-6=0\textcolor{blue}{\to x=6}\) หรือ \(x+2=0\textcolor{blue}{\to x=-2}\) 


โจทย์การแก้สมการพหุนาม

หาเซตคำตอบของสมการ \(4x^4-4x^3-9x^2+x+2\)

ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ เราลองแทนหา \(P(-1)=4(-1)^4-4(-1)^3\) \(-9(-1)^2+(-1)+2=0\)  ดังนั้นแปลว่า \(x+1\) เป็นตัวประกอบ

นำไปตั้งหารสังเคราะห์

\( \begin{array}{c|rrrrr}-1&4&-4&-9&1&2\\&&-4&8&1&-2\\\hline\\&4&-8&-1&2&\textcolor{blue}{0}\end{array} \)

จะได้ผลหารคือ \(4x^3-8x^2-x+2\) 

ดังนั้น \(4x^4-4x^3-9x^2+x+2\) \(=(x+1)(4x^3-8x^2-x+2)\) 

สังเกตว่า พหุนามกำลังสามที่ต้องแยกตัวประกอบต่อสามารถ จัดรูปดึงตัวร่วม ได้ดังนี้ \(4x^3-8x^2-x+2\) \(=4x^2(x-2)-(x-2)\)  \(=(x-2)(4x^2-1)\) 

และจาก \(4x^2-1\) สามารถจัดรูป ผลต่างกำลังสอง ได้ดังนี้ \(4x^2-1=(2x)^2-1^2\) \(=(2x+1)(2x-1)\) รวมทั้งหมด จะได้

\(\require{cancel}\begin{aligned} &4x^4-4x^3-9x^2+x+2 \\&=(x+1)[4x^2(x-2)-(x-2)] \\&=(x+1)(x-2)(4x^2-1) \\&=(x+1)(x-2)(2x+1)(2x-1) \end{aligned}\)

ดังนั้นเซตคำตอบ คือ \(\{-1, 2, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\}\)

ทริคการดึงตัวร่วม

การดึงตัวร่วมส่วนมากเราจะใช้กับกำลังสาม เพราะมันมี 4 พจน์ แปลว่าเราจะคู่ 2 พจน์กับ 2 พจน์ได้นั่นเอง ดังนั้น ถ้าเราเจอกำลังสาม เราพยายามมองดูก่อนว่า จับคู่ดึงตัวร่วมได้หรือเปล่า หากได้จะได้ไม่ต้องไปหารสังเคราะห์ให้วุ่นวาย

หาเซตคำตอบของสมการ \(2x^3-x^2+6x-3=0\)

เฉลย

หาเซตคำตอบของสมการ \(x^3+x^2-9x-9=0\)

เฉลย

อย่าลืมเนื้อหา ม.ต้น ว่า การแก้สมการพหุนามดีกรีสอง ถ้าเราแยกตัวประกอบไม่ลงตัว เราใช้สูตรได้คือ

\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

ยกตัวอย่างหากเราต้องการหาคำตอบของสมการ \(x^3-6x^2+8x-3=0\)

จากการสังเกตดูแล้ว จะเห็นว่า จับคู่ดึงตัวร่วมไม่ได้ ดังนั้น ต้องใช้หารสังเคราะห์มาช่วย พี่ขออนุญาตบอกน้องเลยว่า \(P(1)=0\) ดังนั้น แปลว่า \(x-1\) หารลงตัว เราได้เศษหาร ดังนี้

\( \begin{array}{c|rrrr}1&1&-6&8&-3\\&&1&-5&3\\\hline\\&1&-5&3&\textcolor{blue}{0}\end{array} \)

แปลว่าผลหารเราคือ \(x^2-5x+3\) ดังนั้น สมการด้านบนได้ว่า \((x^2-5x+3)(x-1)=0\)

ทีนี้พหุนามดีกรีสองที่เรามีเราแยกตัวประกอบไม่ได้ เราเลยต้องใช้สูตรช่วย โจทย์ข้อนี้คือ \(x-1=0\to x=1\) หรือ

\(\require{cancel}\begin{aligned} 0&=x^2-5x+3 \\x&=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4(1)(3)}}{2(1)} \\x&=\dfrac{5\pm\sqrt{13}}{2} \end{aligned}\)

ดังนั้น เซตคำตอบของสมการเราคือ \(\left\{1,\dfrac{5+\sqrt{13}}{2},\dfrac{5-\sqrt{13}}{2}\right\}\)


เศษส่วนพหุนาม

ในส่วนนี้คือเรื่องเดียวกันนี่แหละครับ แต่เราจะแยกมาดูพิเศษสำหรับเรื่อง เศษส่วนพหุนาม ตัวอย่างเช่น \(\dfrac{x-2}{x-3}=0\) ก็คือเศษส่วนพหุนาม สังเกตว่า เรามีพหุนามทั้งบนเศษและตัวล่างตรงส่วน สมมติว่าเรามีรูปทั่วไปแบบนี้

\(\dfrac{p(x)}{q(x)}=0\)

หลักการแก้เศษส่วนพหุนาม คือง่าย ๆ เลยครับ การที่คำตอบเศษส่วนพหุนามจะเป็น \(0\) ได้แปลว่า ตัวเศษต้องเป็น \(0\) เพราะ \(0\) หารด้วยอะไรก็ได้ \(0\) แต่ตัวส่วนห้ามเป็น 0 เพราะ อะไรหารด้วย 0 คือไม่มีนิยามนั่นเองครับ

\(p(x)=0\) แต่ \(q(x)\ne0\)

อย่าลืมการ บวกลบคูณหาร เศษส่วน

การบวกลบเศษส่วน เราต้องทำส่วนให้เท่ากัน ดังนั้น หากเรามี

\(\require{cancel}\begin{aligned} \dfrac{p(x)}{q(x)}+\dfrac{r(x)}{q(x)}=\dfrac{p(x)+r(x)}{q(x)} \\\; \\\dfrac{p(x)}{q(x)}-\dfrac{r(x)}{q(x)}=\dfrac{p(x)-r(x)}{q(x)} \end{aligned}\)

การคูณหารเศษส่วน เราก็ทำตรง ๆ เหมือนที่ทำกับเศษส่วนที่เป็นตัวเลขคือ ถ้าคูณก็บนคูณบน ล่างคูณล่าง ถ้าหาร ก็กลับเศษส่วนและตบทับมาคูณข้างบน

\(\require{cancel}\begin{aligned} \dfrac{p(x)}{q(x)}\cdot\dfrac{r(x)}{s(x)}&=\dfrac{p(x)\cdot r(x)}{q(x)\cdot s(x)} \\\; \\\dfrac{\dfrac{p(x)}{q(x)}}{\dfrac{r(x)}{s(x)}}&=\dfrac{p(x)\cdot s(x)}{q(x)\cdot r(x)} \end{aligned}\)

ตัวอย่าง จงหาเซตคำตอบของสมการ \(\dfrac{x(x-1)}{(x-5)(x-3)}=\dfrac{6}{(x-5)(x-3)}\)

สังเกตว่ามันยังไม่อยู่ในรูปของ \(\dfrac{p(x)}{q(x)}=0\) เราจึงจับย้ายข้างได้ว่า \(\dfrac{x(x-1)}{(x-5)(x-3)}-\dfrac{6}{(x-5)(x-3)}=0\)

จากนั้นในเมื่อส่วนเท่ากันแล้ว เราจึงจะรวมเศษส่วนเป็นแบบนี้

\(\require{cancel}\begin{aligned} \dfrac{x(x-1)}{(x-5)(x-3)}-\dfrac{6}{(x-5)(x-3)}&=0 \\\dfrac{x(x-1)-6}{(x-5)(x-3)}&=0 \end{aligned}\)

เมื่อถึงตรงนี้ หลักการในการแก้เศษส่วนพหุนามคือเราได้ว่า เศษเป็น 0 แต่ส่วนไม่เป็น 0 การที่บอกส่วนไม่เป็นศูนย์ก็แปลว่า \((x-5)(x-3)\ne0\) ได้ว่า \(x\ne5\) และ \(x\ne3\) ส่วนตัวส่วนเป็น \(0\) ก็คือ

\(\require{cancel}\begin{aligned} x(x-1)-6&=0 \\x^2-x-6&=0 \\(x-3)(x+2)&=0 \\x&=-2,3 \end{aligned}\)

แต่เรารู้แล้วว่า \(x\ne5\) และ \(x\ne3\) แปลว่า คำตอบเหลือแค่ \(-2\) นั่นเอง

หาเซตคำตอบของสมการ \(\dfrac{1}{x}=\dfrac{x+6}{x^2+3}\) 

เฉลย


ผลบวก ผลคูณ คำตอบ

ปกติแล้วจำนวนคำตอบของสมการ มีอย่างมากสุดก็คือเลขยกกำลังสูงสุด เช่น พหุนามดีกรีสอง ก็มีอย่างมากสุดสองคำตอบ ดีกรี 7 ก็จะมีมากสุด 7 คำตอบ เหตุผลคร่าว ๆ เพราะว่า ดีกรีสูงสุดจะเป็นตัวบ่งบอกว่าเราจะสามารถแยกตัวประกอบได้มากสุดกี่วงเล็บ เช่นเรามี \(x^7+\dots\) เราก็จะแยกได้มากสุด 7 วงเล็บ คือ \((x\pm\dots)(x\pm\dots)\dots(x\pm\dots)\) 7 วงเล็บนั่นเอง

บางทีเราก็ไม่ต้องการหาคำตอบสมการออกมาจริง ๆ แต่คำถามถามแค่ ผลคูณคำตอบของสมการ หรือ ผลบวกของคำตอบของสมการ เราก็จะมีวิธีลัดในการหา

เราเคยเรียนกันไปแล้วตอน ม.ต้น เรื่องพหุนามดีกรีสองว่าราก (คำตอบ) ของสมการ คือ \(\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) ซึ่งถ้านำไปหาผลบวกคำตอบจะได้

\(\require{cancel}\begin{aligned} &\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\&=\dfrac{-2b}{2a} \\&=-\dfrac{b}{a} \end{aligned}\)

ถ้าเราจับคูณกันจัดรูปจะได้ \(\dfrac{c}{a}\)

ซึ่งถ้าเป็นรูปทั่วไป สมมติเรามีพหุนามดีกรี \(n\) ว่า \(a_n{x^n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1{x}+a_0=0\) ก็จะเป็นสูตรดังนี้

หลักการ คือ เริ่มที่พจน์ที่สอง (กำลังลบหนึ่งจากสูงสุด) และเครื่องหมายลบ จากนั้นก็ สลับ ลบ, บวก, ลบ ไปเรื่อย ๆ และเริ่มจาก ผลบวกก่อน ซึ่งจริง ๆ ผลบวกก็คือ ผลบวกคูณรากหนึ่งตัวนั่นเอง ถัดไป ก็ผลบวกคูณรากสองตัว สามตัว สี่ตัว ไปเรื่อย ๆ จน คูณทั้งหมด ก็จบที่ ผลคูณราก

ตัวอย่างตามภาพเลย เราจะใส่ ลบ บวก ลบ ไล่ไปเรื่อย ๆ จากพจน์สองถัดจากดีกรีสูงสุด แล้วก็นำไปหาผลบวกหรือผลคูณคำตอบได้อย่างเร็ว ๆ เลย โดยใช้เครื่องหมายที่เราสร้างมา กับตัวเลขสปส.พจน์นั้น ๆ หารด้วย สปส.พจน์หน้าสุด

วิธีนี้เป็นวิธีคลาสสิกที่อยากให้จำให้ได้เพราะมันช่วยร่นระยะเวลาทำข้อสอบได้เยอะมาก ไปดูตัวอย่างโจทย์กันครับ

จงหาคำตอบที่เหลือ ของสมการ \(2x^3-5x^2+x+2=0\) หากกำหนดให้คำตอบของสมการ 2 ตัว คือ \(2\) และ \(-\dfrac{1}{2}\)

เฉลย

หากบทความพี่เป็นประโยชน์ ฝากแชร์ต่อให้เพื่อนๆ ด้วยนะครับ :')