รากที่สอง ม.2 - จำนวนจริงเบื้องต้น


รากที่สอง
อ่าน 14,866 ครั้ง

อยากดูแบบวิดีโอ?
(กำลังดำเนินการจัดทำคลิป)

รากที่สอง คืออะไร

เรื่องนี้เป็นเรื่องที่มีความเกี่ยวเนื่องกับเลขยกกำลัง ม.1เป็นอย่างมากครับน้องๆ สมมติว่าพี่มี \(x^2=4\) มันแปลว่า เลข \(x\) เป็นอะไรก็ได้ที่ยกกำลังสองแล้วได้ 4 หากน้องๆ จำกันได้ เราก็จะรู้ว่า \(x=2\) และ \(x=-2\) เพราะว่า \(\textcolor{blue}{2}^2=4\) และ \(\textcolor{blue}{-2}^2=4\)

อันข้างบนมันค่อนข้างง่าย เพราะมันหาคำตอบได้ลงตัว แต่หากน้องเจอโจทย์ถามว่า \(x^2=3\) หละ สังเกตว่าคำตอบเป็น 1 ก็ไม่ได้ เพราะ \(1^2=1\) ซึ่งมีค่าน้อยไป (เราต้องการคำตอบ = 3) แต่ถ้าคำตอบเป็น 2 ก็ไม่ได้อีกเช่นกันครับ เพราะ \(2^2=4\) ซึ่งมีค่ามากไป ดังนั้น คำตอบก็คงเป็นระหว่าง 1 กับ 2 ซึ่งให้น้องลองให้ตายยังไง ก็หาไม่เจอครับ! เพราะอะไร? เพราะคำตอบของ \(x^2=3\) นั้น มันเป็นจำนวนอตรรกยะนั่นเอง (ทศนิยมไม่ซ้ำไม่รู้จบ)

เมื่อมันเขียนคำตอบออกมาไม่ได้ เราเลยมีคำศัพท์ใหม่ขึ้นมาเรียกว่า "รากที่สอง"


รากที่สอง VS กรณฑ์ที่สอง

หากใครอยากได้แค่สรุปสามารถเลื่อนไปท้ายสุดของเซคชั่นนี้ได้เลยนะ อย่างที่บอกไปข้างบน สมมติเรามีโจทย์เดิม \(x^2=3\) มันเขียนคำตอบออกมาไม่ได้ (คำตอบมันคือ 1.732... เป็นทศนิยมไม่ซ้ำไม่รู้จบ) เราก็จะใช้คำว่า ''รากที่สอง'' แทนมันไปซะเลยน้อง หาก \(x^\textcolor{blue}{2}=\textcolor{red}{3}\) เราจะเรียก \(x\) ว่า รากที่สองของ \(\textcolor{red}{3}\)

ปกติแล้วหากเรามี \(x^k=a\) เราก็จะเรียก \(x\) ว่า รากที่ k ของ a
บทนี้เราสนใจแค่รากที่สอง ก็คือสนใจแค่สมการ ยกกำลังสอง นั่นเอง (\(x^2=a\))

แต่เท่านี้ยังไม่จบน้อง เพราะว่า ''รากที่สอง'' มันเป็นเพียงแค่คอนเซปต์เท่านั้น ถ้าเราจะเอาไปเขียนเป็นสมการคณิตฯ เราต้องมี สัญลักษณ์ แทนรากที่สองถูกมั้ย เราจะใช้สัญลักษณ์นี้ \(\sqrt{\phantom{x}}\) เรียกมันว่า ''กรณฑ์ที่สอง'' หรือถ้าเป็นคำที่คนปกติชอบพูดก็จะทับศัพท์เรียกว่า ''รูท'' (มาจาก squared root)

บางคนก็สงสัย (บางคนก็ไม่ 5555+) ว่าเอ๋...พี่ ทำไมเค้าไม่ใช้ ชื่อให้เหมือนกันหละ จะเรียกกรณฑ์ทำไม ทำไมไม่เรียกว่าราก? เพราะมันมีความแตกต่างที่น้องๆ ทุกคนควรจำและเข้าใจมันอย่างถ่องแท้ยังไงหละครับ ก่อนที่พี่จะไปพูดถึงความแตกต่างนั้น ก่อนอื่นน้องลองสังเกตกันดูก่อนว่า \(x^2=4\) เราเรียก \(x\) ว่าเป็น รากที่สองของ 4 ถูกมั้ยเอ่ย และจากข้างบนสุดเลยที่เราคุยกันไปว่า คำตอบข้อนี้คือ \(x=2\) และ \(x=-2\) ด้วย มันมีสองคำตอบ

ปัญหามันอยู่ตรงที่มันมีสองคำตอบนี่แหละน้อง ทั้งค่าบวกและลบ

การที่เราใช้สัญลักษณ์ \(\sqrt{\phantom{x}}\) ในทางคณิตศาสตร์มันทำงานเหมือนฟังก์ชั่น ใครยังไม่เคยเรียนก็ไม่เป็นไรครับ ไอเดียมันคือประมาณว่า \(x\Rightarrow\sqrt{\phantom{x}}\Rightarrow\sqrt{x}\Rightarrow y\) เราใส่ input เป็น \(x\) ให้กับ \(\sqrt{\phantom{x}}\) และคำตอบที่ออก (output) คือ \(y\) นั้น ต้องมีได้แค่ output เดียวเท่านั้น!

เพราะฉะนั้นแล้ว แปลว่า สัญลักษณ์ที่ใช้ \(\sqrt{\phantom{x}}\) (กรณฑ์ที่สอง) เนี่ยมันจะไม่สามารถให้ค่าได้สองค่า (ทั้งบวกและลบ) เราเลยกำหนดให้ \(\sqrt{\phantom{x}}\) ให้ค่า ''รากที่สองที่เป็นบวกเท่านั้น''

กลับไปที่โจทย์ตอนเริ่ม \(x^2=4\) เราบอกว่า \(x=\sqrt{4}\) แต่ \(\sqrt{\phantom{x}}\) ให้แค่ค่าบวก ดังนั้นเราจึงต้องบังคับให้มันเป็นได้ทั้งบวกและลบ โดยการเขียนแบบนี้ \(x=\pm\sqrt{4}\)

รากที่สองเป็นได้ทั้งค่าบวกและค่าลบ
ส่วนกรณฑ์ที่สอง (รูท) (\(\sqrt{\phantom{x}}\)) เป็นได้แค่ค่าบวกเท่านั้น จบ!

กำหนดให้ \(x^2=16\) จงหาค่า \(x\)

เฉลย

จงหาค่าของ \(\sqrt{16}\)

เฉลย

เมื่อน้องๆ รู้กันแล้วว่า รากที่สองคืออะไร ข้อสังเกตอีกอย่างหนึ่งเลยคือ เราไม่สามารถหาค่ารากที่สองของจำนวนที่เป็นลบได้ เพราะอะไร? เพราะว่า การหารากที่สองของ \(x\) คือการหาจำนวนที่คูณตัวมันเองแล้วได้ \(x\) หาก \(x\) เป็นจำนวนติดลบ มันไม่มีจำนวนไหนเลย ที่คูณกับตัวมันเองแล้วเป็นค่าลบ หากน้องๆ จำได้ บวกคูณบวกได้บวก และ ลบคูณลบก็ได้บวก ดังนั้น วิธีเดียวที่จะคูณกันได้ลบ ก็ต่อเมื่อ เลขที่นำมาคูณกันนั้น มีเครื่องหมายตรงกันข้ามกัน ดังนั้น ''เลขทั้งสองนี้ต้องเป็นเลขคนละตัว''

ตัวอย่างเช่น พี่ต้องการหา \(\sqrt{-25}\) ก็คือจำนวนอะไรที่คูณกันได้ \(-25\) หากน้องลอง \(5\) จะได้ \(5\times5=25\) และหากลอง \(-5\) ก็จะได้ \(-5\times-5=25\) ซึ่งไม่ว่าจะแบบไหน ก็ไม่มีทางที่จะหาจำนวนที่คูณตัวมันเองได้ \(-25\) เลย

เราไม่สามารถหาค่า รากที่สอง ของจำนวนติดลบได้
พูดอีกอย่างได้ว่า ''ใต้กรณฑ์ที่สองห้ามติดลบ''


การหารากที่สองตัวพื้นฐานที่ต้องจำได้ \(\sqrt{\phantom{x}}\)

ในส่วนนี้คือน้อง ๆ ควรจะจำได้เมื่อทำโจทย์บ่อย ๆ ว่ากำลังสองของ \(13\) ถึง \(31\) (ผลลัพธ์ไม่เกินพัน) ว่าแต่ละตัวมีค่าเท่าไหร่ เราจะได้ใช้ความรู้พวกนี้ไปหาค่า รากที่สอง

ค่ารากที่สองที่ควรรู้

ตัวอย่าง ให้หา \(\sqrt{529}\)

เนื่องจากเรารู้แล้วว่า \(23^2=529\) ดังนั้น \(\sqrt{529}=23\)

แต่ถ้าถามหา รากที่สองของ \(529\) เราจะได้สองค่าคือ \(-23, 23\) เพราะรากที่สองเอาทั้งบวกและลบ แต่ รูท (กรณฑ์ที่สอง) เอาแค่ค่าบวก


การหารากที่สองโดยการแยกตัวประกอบ \(\sqrt{\phantom{x}}\)

ดึงออกมานอกรูท

อันนี้จะสอนเป็นหาค่าแบบแปลงเป็นรูทอย่างง่ายเท่านั้นนะน้อง คือ ถ้าเราเจอรูทที่คำตอบมันเป็นจำนวนอตรรกยะเนี่ย เราก็จะติดรูทไว้ แต่จะทำให้มันเป็นเลขที่ต่ำลง เราเรียกแบบนี้ว่าเป็น การหารากที่สองไม่ลงตัว เช่น \(\sqrt{\textcolor{blue}{20}}=2\sqrt{\textcolor{blue}{5}}\) จากเลข 20 ก็จะเล็กลงเป็น 5 ประมาณนี้ เรามาดูวิธีการทำกันเลยและกันครับน้องๆ

*หมายเหตุ: ในระดับชั้นม.2 ส่วนมากที่น้องจะเจอก็จะเป็นการหารูทแบบที่หาได้ลงตัว แต่วิธีก็ใช้เหมือนกันครับน้องๆ คือการแยกตัวประกอบที่พี่จะกล่าวในเนื้อหาด้างล่างต่อไปนี้

ลองสังเกตก่อนว่าทำไม \(\sqrt{16}=4\) ? เพราะว่า \(16=4\times4\) และการหารากที่สองก็คือหาตัวเลขที่คูณกันสองครั้งได้ตัวนั้น ดังนั้นหลักการก็ไม่ยากเลยครับน้อง คือให้เราทำการเขียนเลขที่อยู่ใต้รูท เป็นเลขคูณกัน คล้ายๆ การแยกตัวประกอบ

อย่างข้อบน หากน้องแยกตัวประกอบก็จะได้ \(\sqrt{16}=\sqrt{2\times2\times2\times2}\) เมื่อเจอเลขซ้ำกันสองตัวสามารถดึงออกมาจากรูทได้หนึ่งตัว \(\sqrt{2\times2\times2\times2}\;\) \(=\sqrt{\textcolor{red}{2\times2}\times\textcolor{blue}{2\times2}}\;\)  \(=\textcolor{red}{2}\times\textcolor{blue}{2}\) 

ข้อสังเกต: พี่บอกว่าเขียนเป็นผลคูณ คล้ายๆ แยกตัวประกอบ คือที่พี่บอกแบบนี้เพราะว่า บางทีเราก็ไม่จำเป็นต้องแยกตัวประกอบจนสุดขนาดนั้น หากน้องรู้เลขที่มันคูณกันสองทีก็ใช้ได้เหมือนกันครับ อย่างเช่น \(\sqrt{72}\) คือถ้าน้องแยกตัวประกอบออกมาเนี่ยมันก็จะยาวนิดนึง แต่หากบางคนคิดไว และเห็นว่า \(72=6\times6\times2\) เราก็สามารถทำได้เช่นกันดังนี้ \(\sqrt{72}=\sqrt{\textcolor{blue}{6\times6}\times2}\;\) \(=\textcolor{blue}{6}\sqrt{2}\)

เขียนเป็นผลคูณ หากเจอเลขซ้ำสองตัว ดึงออกมานอกรูทได้หนึ่งตัว

จงทำ \(\sqrt{80}\) เป็นรูทอย่างง่าย

เฉลย

จงหาค่าของ \(\sqrt{729}\)

เฉลย


รูทของกำลังสอง \(\sqrt{x^2}\) และ กำลังสองของรูท \((\sqrt{x})^2\)

''รากที่สอง'' กับ ''กำลังสอง'' เป็นส่วนกลับซึ่งกันและกัน

หลังจากที่น้องๆ รู้จักแล้วว่า รากที่สอง กับ กรณฑ์ที่สองนั้นคืออะไรและหาค่ามันยังไง ในหัวข้อนี้พี่จะพูดถึงการที่น้องมี รูทของกำลังสอง \(\sqrt{x^2}\) หรือ กำลังสองของรูท \((\sqrt{x})^2\)

1. รูทของกำลังสอง \(\sqrt{x^2}\)

สังเกตก่อนเลยว่ารูทมันคลุมกำลังสองอยู่ ดังนั้นเราต้องทำ (1) กำลังสองก่อน และ (2) ค่อยถอดรูท ตัวอย่าง จงหา \(\sqrt{\textcolor{blue}{5}^2}\) ในข้อนี้ เราต้องทำข้างในก่อน \(\sqrt{5^2}=\sqrt{25}\) จากนั้น ก็หาค่าของ \(\sqrt{25}=\textcolor{blue}{5}\) สมมติอีกตัวอย่าง \(\sqrt{(\textcolor{red}{-9})^2}\) เราก็จะยกกำลังสองก่อน ได้ว่า \(\sqrt{81}=\textcolor{red}{9}\)

หากสังเกตดีๆ ที่พี่ทำสีฟ้ากับแดงไว้ จะเห็นได้ว่า คำตอบที่ได้ มันคล้ายๆ ค่าตั้งต้นก่อนเรายกกำลังสองเลย มันไม่ใช่เรื่องบังเอิญครับน้อง เพราะจริงๆ แล้ว \(\sqrt{\phantom{x}}\) กับ \(\phantom{x}^2\) เนี่ยมันเป็นส่วนกลับซึ่งกันและกัน

การที่เรานำจำนวนใดๆ ไปยกกำลังสองแล้วถอดรากที่สองต่อ มันก็จะได้ตัวเดิมนั่นแหละ เหมือนประมาณว่า \(\sqrt{x^2}\Rightarrow\sqrt{x\times x}\Rightarrow x\) แต่ต้องระวังเครื่องหมาย! สังเกต \(\sqrt{(\textcolor{red}{-9})^2}\) ไม่ได้ตอบตัวเดิม (\(-9\)) แต่ตอบ \(9\) เพราะว่า ''คำตอบของกรณฑ์ที่สองเป็นบวกเสมอ''

ฉะนั้น จำให้ขึ้นใจเลยว่า \(\sqrt{x^2}\) มีค่าเท่ากับ ''ค่า \(x\) ที่เป็นจำนวนบวก''

เสริม: ซึ่งจาก ม.1 เราก็รู้กันแล้วว่านิยามด้านบนมันคือ ''ค่าสัมบูรณ์'' \(|x|\) ซึ่งสัญลักษณ์อันนี้มันคือการที่เราทำ \(x\) ให้เป็นค่าบวก เช่น \(|5|=5\) และ \(|-5|=5\) ซึ่งมันคือตามที่เราต้องการเลย ดังนั้น พี่ขอเขียนสมการใหม่ ดังนี้ \(\sqrt{x^2}=|x|\)

\(\sqrt{x^2}=|x|\)

2. กำลังสองของรูท \((\sqrt{x})^2\)

อันนี้ไอเดียก็เหมือนข้อ 1. ที่ \(\sqrt{\phantom{x}}\) กับ \(\phantom{x}^2\) เนี่ยมันเป็นส่วนกลับซึ่งกันและกัน แต่ข้อนี้แตกต่างกันที่ค่า \(x\) ที่ให้ต้องเป็นจำนวนบวกเท่านั้น เพราะเรามี \(\sqrt{x}\) และใต้รูทห้ามติดลบ ดังนั้นข้อนี้เราก็ไม่ต้องสนใจเครื่องหมายของ \(x\) เลย \((\sqrt{x})^2=x\)

\((\sqrt{x})^2=x\) ค่า \(x\) เป็นจำนวนบวกเท่านั้น


การบวก ลบ คูณ หาร รากที่สอง

อันนี้เป็นปัญหาคลาสสิกเลยเวลาน้องๆ เจอสมการติดรูทเราจะแก้สมการกันยังไง ซึ่งจริงๆ เรื่องนี้น้องม.2 จะได้เรียนอย่างจริงจังและยากกว่านี้อีกนิดนึง ในระดับชั้นที่สูงขึ้น ดังนั้นในส่วนนี้ พี่จะขอเกริ่นคร่าวๆ ให้น้องม.2 ได้รู้คอนเซปต์ไปก่อนสักนิดนึง เรื่องนี้ไม่ยากมากเข้าเรื่องกันเลยและกัน

1. การคูณและการหาร (ในหลักสูตร ม.2)

\(\require{cancel} \begin{aligned} \sqrt{a}\sqrt{b}&=\sqrt{ab}\\ \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}&=\sqrt{\dfrac{a}{b}} \end{aligned}\)

สำหรับการคูณหารรูท อันนี้เราจะพูดถึงกรณีที่เป็นกรณฑ์ที่สองเหมือนกันหมดนะครับน้องๆ ไอเดียคือ ยุบรูทรวมกันได้เลย อย่างเช่นตัวอย่าง \(\sqrt{6}\times\sqrt{5}\) พี่สามารถยุบรูทรวมกันและนำทั้ง \(6\) และ \(5\) ไปไว้ใต้รูทเดียวกันได้เลย ดังนั้น \(\sqrt{6}\times\sqrt{5}=\sqrt{6\times5}=\sqrt{30}\)

ในทางเดียวกันนั้น หากพี่มีหารรูท เช่น \(\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{5}}\) ก็สามารถยุบรวมกันได้แบบนี้ \(\sqrt{\frac{100}{5}}=\sqrt{20}\)

จงหาค่า \(\frac{\sqrt{6}\sqrt{8}}{\sqrt{3}}\)

เฉลย

2. การบวกและการลบ (เสริมนอกหลักสูตร)

อันนี้จะยากกว่าคูณกับหารหน่อย แต่ก็ไม่ยากมาก ไอเดียมันคล้ายๆ การหาตัวคูณร่วม กล่าวง่ายๆ คือในแต่ละพจน์ที่เรามี เราต้องหาตัวคูณรูทร่วมกัน ตัวอย่าง \(5\textcolor{blue}{\sqrt{6}}+7\textcolor{blue}{\sqrt{6}}\) ตัวคูณร่วมในสองพจน์นี้ก็คือ \(\textcolor{blue}{\sqrt{6}}\) เมื่อเราได้ตัวคูณร่วมที่เป็นรูทเดียวกัน เราก็ดึงตัวร่วมออกมาได้ดังนี้ \(5\textcolor{blue}{\sqrt{6}}+7\textcolor{blue}{\sqrt{6}}=(5+7)\textcolor{blue}{\sqrt{6}}=12\sqrt{6}\)

มองง่ายๆ ก็ประมาณว่า \(5\textcolor{blue}{\sqrt{6}}+7\textcolor{blue}{\sqrt{6}}\) เรามี \(\textcolor{blue}{\sqrt{6}}\) อยู่ \(5\) อัน จากพจน์แรก และก็มี \(\textcolor{blue}{\sqrt{6}}\) อีก \(7\) อัน จากพจน์หลัง รวมกันก็เลยเป็น มี \(12\) อัน

หลักการคือ หารูทร่วมกันของทุกพจน์ ที่จะเอามาบวก/ลบ

จงหาค่า \(\sqrt{50}-\sqrt{338}+\sqrt{162}\)

เฉลย

หากบทความพี่เป็นประโยชน์ ฝากแชร์ต่อให้เพื่อนๆ ด้วยนะครับ :')