จํานวนตรรกยะ และ จํานวนอตรรกยะ กับ จำนวนจริง ม.2


อ่าน 637 ครั้ง

อยากดูแบบวิดีโอ?

เกริ่นนำ

แผนผังจำนวนมอต้น

หากเราพูดถึงคณิตศาสตร์ สิ่งที่น้องจะเจอเลยก็คือตัวเลข ดังนั้นในบทนี้ เราจะมาเรียนกันว่าตัวเลขมีแบบไหนบ้าง

ลองดูแผนภาพด้านบนประกอบกันไปนะครับน้อง ๆ สังเกตว่าในช่วงม.ต้นที่เราเรียนกันอยู่นี้ เราจะเรียกจำนวนทั้งหมดว่า จำนวนจริง เช่น 1, 3.4, 5.34343434..., และอื่นๆ แต่หากน้องสังเกตทางด้านขวาของจำนวนจริง จะเห็นว่า จริงๆ แล้วมันก็มี จำนวนไม่จริง ด้วย เอ๊ะพี่ ไม่จริงยังไง? ในส่วนนี้น้องจะได้เรียนกันตอน ม.5-ม.6 เค้าเรียกว่า จำนวนจินตภาพ ครับน้อง ๆ

ดังนั้นตอนนี้เราสนใจกันแค่ จำนวนจริง ของเราก่อนก็พอ สิ่งที่น้องต้องรู้คือ จำนวนจริง ถูกแบ่งออกเป็น 2 กลุ่ม ได้แก่ จำนวนตรรกยะ และ จำนวนอตรรกยะ ให้สังเกตคำว่า อ- ไว้ดีๆ นะ อ- แปลว่า ไม่ ดังนั้น ทั้งสองกลุ่มนี้ก็คือ ตรงกันข้ามกัน นั่นเอง

จำนวนอตรรยะ เรียกอีกอย่างคือ "จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ"


จำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่ มันเขียนในรูปของเศษส่วนได้ แต่แต่แต่ มันมีข้อจำกัดด้วยครับ คือ เศษส่วนที่เขียนออกนี้ สมมติให้เป็น \(\dfrac{A}{B}\) ทั้ง \(A\) และ \(B\) ต้องเป็นจำนวนเต็ม และตามหลักคือ เราไม่สามารถเอาอะไรหารด้วย 0 ได้ เพราะฉะนั้น \(B\neq0\) [ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์]

จำนวนตรรรยะ คือ จำนวนที่เขียนเป็นเศษส่วนได้ \(\dfrac{A}{B}\) โดย \(A\) และ \(B\) เป็นจำนวนเต็มและ \(B\neq0\)

และมันมีจำนวนกี่แบบครับพี่ที่เป็นจำนวนตรรกยะ? 2 แบบครับ

1. จำนวนเต็ม

เช่น \(-5, 7, 19, 256\) จำนวนพวกนี้ก็เป็นจำนวนตรรกยะครับ พี่แต่มันไม่ได้เป็นเศษส่วนนะ? ใช่น้อง แต่ จำนวนเต็มทุกตัว สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ ด้วยการนำไปหารด้วย 1 เช่น \(-5=\dfrac{-5}{1}\), \(19=\dfrac{19}{1}\), หรือ \(256=\dfrac{256}{1}\) ดังนั้นมันจึงจัดเป็นจำนวตรรกยะด้วยนั่นเอง

การเชื่อมต่อข้อมูล

การเชื่อมโยงข้อมูลที่น้องมีไปสู่ซึ่งกันและกันจะทำให้ ระบบการคิดจำได้แม่นและยาว น้องรู้ว่าจำนวนตรรกยะคือเขียนเป็นเศษส่วนได้ และจำนวนเต็มก็เป็นตรรกยะ เราก็พยายามจะเชื่อม อ๋อออ เพราะเราหารมันด้วย 1 ได้ นั่นเอง

2. ทศนิยมซ้ำ

ทศนิยมซ้ำ ยกตัวอย่างเช่น \(6.7878787878787878\dots\) ไปเรื่อย ๆ น้องจะสังเกตเห็นว่า ทศนิยมหลังจุดนั้นซ้ำ \(78\) ไปเรื่อย ๆ ไม่รู้จบ แบบนี้แหละครับที่เราเรียกว่าทศนิยมซ้ำ

แต่การซ้ำของทศนิยมนั้น ไม่จำเป็นต้องซ้ำตั้งแต่ตัวแรกก็ได้ เช่น \(10.43207207207207\dots\) จะเห็นว่าเลขนี้ ตอนเริ่มมาหลังทศนิยม มันไม่ได้ซ้ำตรง \(43\) แต่พอเริ่มเป็น \(207\) มันเริ่มซ้ำกันไปเรื่อยๆ \(207\;207\;207\;\dots\) ดังนั้นการซ้ำไม่จำเป็นต้องซ้ำตั้งแต่ตัวแรกนะครับ แต่สุดท้ายต้องมีช่วงหนึ่งแหละที่เริ่มซ้ำ

แล้วเราจะเขียนเลขทศนิยมซ้ำแบบไม่ต้องใช้ \(\dots\) (จุด) แทนได้ยังไงบ้าง?

ตัวอย่างเดิมครับ น้อง ๆ มี \(6.787878787878\) เรารู้และว่า \(78\) มันคือตัวที่ซ้ำ เราจะนำเครื่องหมายขีดไปใส่ด้านบนและตัดตัวซ้ำที่เหลือออกไป จะได้ \(6.787878787878... = 6.\overline{78}\)

ส่วน \(10.43207207207\) ก็จะได้เป็น \(10.43\overline{207}\) เพราะ \(43\) ไม่ได้ซ้ำ ดังนั้นเครื่อง ขีดด้านบน เราก็จะอยู่แค่ส่วนที่ซ้ำ ซึ่งก็คือ \(207\)

เขียน 5.73734734573457345... โดยใช้เครื่องหมายขีดด้านบน

เฉลย

** ในหนังสือเรียนมักจะเขียนแทนด้วย จุดด้านบนปิดหัวท้าย เช่น \(10.43\overline{207}\) = \(10.43\dot{2}0\dot{7}\) ซึ่งก็ถือว่าใช้ได้เหมือนกัน

เพิ่มเติม แล้วจำนวนที่ไม่ใช่ทศนิยมซ้ำล่ะพี่? เช่น 6.25, 1.281 พวกนี้ก็เป็นตรรกยะเหมือนกันครับน้อง ๆ เพราะมันคือจำนวนทั้งหมด หารด้วย 10, 100, 1000, 10000, ... นั่นเอง สังเกตดี ๆ \(6.25=\dfrac{625}{100}\) และ \(1.281=\dfrac{1281}{1000}\) นั่นเอง ในหนังสือเรียนเค้าจะสอนน้อง ๆ ว่า เลขพวกนี้เป็น ทศนิยมซ้ำศูนย์ มองภาพง่าย ๆ คือ \(6.25=6.2500000...=6.25\overline{0}\)

ทีนี้คำถามคือ ถ้า ทศนิยมซ้ำเป็นจำนวนตรรกยะ มันก็ต้องเขียนในรูปเศษส่วนได้เสมอใช่หรือเปล่าครับ? ถูกต้องแล้ว ดังนั้นในพาร์ทต่อไปเราจะมาดูกันว่า เปลี่ยนทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วน ทำอย่างไร


เปลี่ยนทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วน

เปลี่ยนทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วน

เรื่องนี้หากเป็นคำพูดอาจจะเข้าใจยากกว่าวิดีโอ ดังนั้นพี่จะแปะวิดีโอประกอบไว้ด้วย หากน้อง ๆ มีเวลาแนะนำให้ดูทางวิดีโอจะได้เห็นภาพมากขึ้นครับ

ในคลิปวิดีโอ พี่จะเล่าจากหลักการและวิธีปกติก่อน จากนั้นจะนำไปสู่สูตรสรุปและการนำไปใช้และกันนะ ให้น้องเข้าใจที่มาก่อน ไม่จำสูตรอย่างเดียว เพราะสอบปุ๊บเดี๋ยวก็ลืม หลักการของเราก็คือ เราจะใช้ความ "ซ้ำไม่รู้จบ" ของจุดทศนิยมนี้แหละมาช่วย

แต่ในเว็บที่เขียนนี้ พี่จะขอข้ามไปที่สูตรและหลักการใช้กันเลย เนื่องจากการอธิบายที่มา วิดีโอสามารถครอบคลุมได้มากกว่า ดังนั้น ใครสนใจก็จิ้มที่วิดีโอด้านบนหน้านี้กันได้เลยนะครับ

สูตรที่เราจะใช้กันคือ

วิธีเปลี่ยนทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วน

เลขหน้าทศนิยมเราจะไม่สนใจนะ ก็คือตัดทิ้งไปเลย แล้วค่อยนำมาตอบด้วยกันกับคำตอบที่เราหาได้ ตัวอย่าง สมมติพี่มี \(9.707070707...\) ซึ่งมันก็คือ \(9.\overline{70}=9+0.\overline{70}\) เราจะคิดแค่ส่วน \(0.\overline{70}\) จากนั้นก็จะนำเลข \(9\) มาต่อตอนตอบเป็นจำนวนคละ ดังนั้นหลังทศนิยมทั้งหมด คือ \(\textcolor{green}{70}\) และ ตัวไม่ซ้ำ ไม่มี (เป็น 0) เพราะขีดด้านบนมันครอบคลุมทั้งหมด แสดงว่า ตัวไม่ซ้ำ เป็น 0 ตัว และตัวซ้ำมีทั้งหมด 2 ตัว เพราะมันซ้ำ \(70\) ซึ่งมี 2 หลัก

ดังนั้นใส่สูตรได้เป็น \(9.\overline{70}=9\dfrac{\textcolor{green}{70}-\textcolor{purple}{0}}{\textcolor{blue}{99}}\)

ลองดูอีกหนึ่งตัวอย่าง สมมติมี \(1.5667667667...\) เขียนอีกแบบว่า \(1.5\overline{667}\)

ตัวอย่างด้านบน เรารู้ว่า หลังทศนิยมทั้งหมดคือ \(\textcolor{green}{5667}\) แต่ต่างขากข้อที่แล้วตรงที่คราวนี้เรามีตัวไม่ซ้ำ ซึ่งคือ \(\textcolor{purple}{5}\) ดังนั้น จำนวนตัวที่ซ้ำคือ 3 ตัว เพราะ \(667\) ซ้ำและมี 3 หลัก ส่วนที่ไม่ซ้ำ มี 1 ตัว

ดังนั้นแทนได้ดังนี้ \(1.5\overline{667}=1\dfrac{\textcolor{green}{5667}-\textcolor{purple}{5}}{\textcolor{blue}{999}\textcolor{deeppink}{0}}\)

จงเขียน \(6.57\overline{89}\) ในรูปเศษส่วน

เฉลย

จงเขียน \(-56.11\overline{2}\) ในรูปเศษส่วน

เฉลย

หาค่าของ \(1.\overline{17}-0.1\overline{7}\) มีค่าเท่ากับข้อใด

เฉลย


จํานวนอตรรกยะ

ในเมื่อ ตรรกยะคือเขียนในรูปเศษส่วนได้ ดังนั้น อตรรกยะก็คือ เขียนในรูปเศษส่วนไม่ได้

แล้วอะไรหล่ะที่เขียนในรูปเศษส่วนไม่ได้? เราบอกกันไปแล้วในหัวข้อที่แล้วว่า หากเป็นทศนิยมซ้ำ จะเขียนในรูปเศษส่วนได้เสมอ ดังนั้น การที่เขียนไม่ได้ ก็คือเป็น ทศนิยมไม่ซ้ำ นั่นเอง แล้วมันมีอะไรบ้าง? ตามมาดูกันครับ

ที่น้องจะได้เจอบ่อยๆ ก็คือพวก ราก (เช่น รากที่สอง, รากที่สาม ตัวที่มันหาค่าลงตัวไม่ได้) เราจะได้เรียนกันในพาร์ทรากที่สอง กับรากที่สามอีกที แบบละเอียด และน้องจะเห็นเลยว่า มันเป็นตัวเลขทศนิยมที่ไม่ซ้ำไม่รู้จบ ข้อควรระวัง: บางรากก็สามารถหาค่าที่ลงตัวได้ ไม่จำเป็นต้องเป็นอตรรกยะเสมอไป นะครับ

อีกอันที่เจอบ่อยมากในคณิตศาสตร์ก็คือ \(\pi\) เพื่อนรักของเรานั่นเอง ใช่แล้วครับ ค่า \(\pi\) โดยประมาณ 3.14 แต่จริง ๆ แล้ว \(\pi\) เป็นทศนิยมไม่ซ้ำ

\(\pi\) น่ารู้

ปัจจุบันเราก็พัฒนาเทคโนโลยีจนสามารถหาตัวเลขทศนิยมของค่า \(\pi\) ได้ถึง 31,415,926,535,897 ตำแหน่งเลยทีเดียว (โดย Emma Haraku Iwao ในปี 2019) หากน้อง ๆ สังเกตดี ๆ Emma Haraku หยุดการหาที่ 31,415,926,535,897 ตำแหน่ง และไม่ไปต่อที่ตำแหน่งที่ 31,415,926,535,898 เพราะว่า เลขนั้นคือค่าของ \(\pi\) ตำแหน่งเริ่มต้นนั่นเอง หากจำกันได้ \(\pi\) คือ 3.1415926535897...

ข้อควรระวังคือหากเราใช้ \(\pi=\dfrac{22}{7}\) จนเคยชินตอนเรียน น้องอาจคิดว่า \(\pi\) เป็นตรรกยะเพราะมันเขียน ในรูปเศษส่วนได้ แต่จริงๆ แล้ว \(\dfrac{22}{7}\) เป็นแค่ค่าประมาณเท่านั้น

จำนวนที่เป็นทศนิยมไม่รู้จบบางจำนวนเป็นจำนวนอตรรกยะ?

เฉลย

จำนวนที่เป็นทศนิยมไม่รู้จบบางจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ?

เฉลย

หากบทความพี่เป็นประโยชน์ ฝากแชร์ต่อให้เพื่อนๆ ด้วยนะครับ :')