เลือกอ่านตามหัวข้อ?
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวสมัยประถม
จริง ๆ แล้วในระดับประถมน้อง ๆ ได้เห็นการแก้สมการไปแล้วแบบไม่รู้ตัวครับ หากจำได้น้อง ๆ จะเจอสัญลักษณ์กล่องสี่เหลี่ยมกันแบบด้านล่าง โดยโจทย์จะให้น้อง ๆ เติมตัวเลขในช่องว่างให้ถูกต้อง
ก็คือให้หาตัวเลขในช่องว่างที่ทำให้ "สมการ" เป็นจริงนั่นเอง ใช่แล้วครับ มันก็คือ สมการนั่นแหละ แต่พอเราเรียนในระดับชั้นที่สูงขึ้น เราจะไม่เขียน ตัวที่เราต้องการหาเป็นสี่เหลี่ยม แล้ว แต่เราจะเขียนเป็น "ตัวแปร" แทน
ตัวแปรส่วนมาก มักจะอยู่ในรูปแบบของตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็ก เช่น \(x,y,a,b,c,m,n\) เป็นต้น
อย่างสมการสองอันด้านบนที่เรามี พี่สามารถเขียนมันออกมาเป็นแบบนี้
\(x+4=6\)
\(3n=15\)
ซึ่งตัวแปรจะเป็นตัวไหนก็ได้นะครับน้อง ๆ ไม่สำคัญ อย่างในบทนี้เราจะเน้น สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ก็คือ เน้นสมการที่มี ตัวแปรแค่ตัวเดียว และ ไม่มีการยกกำลังใด ๆ (เชิงเส้น แปลว่า กำลังหนึ่ง ก็คือไม่ได้ยกกำลังนั่นเอง) และทั้งสองสมการด้านบนก็เป็นสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว เหมือนกัน เพราะสมการแรกมีตัวแปรแค่ตัวเดียว คือ ตัวแปร \(x\) และสมการที่สองก็มีตัวแปรแค่ตัวเดียว คือ ตัวแปร \(n\)
ประเภทของสมการ
สมการมีหลายรูปแบบครับ หากพี่บอกว่า \(2+3=5\) น้อง ๆ ก็จะบอกว่าถูกต้องแล้ว ซึ่งนี่ก็คือสมการรูปแบบนึงที่ไม่มีตัวแปร และเป็นสมการที่เป็นจริง (ถูกต้อง) แต่หากพี่บอกว่า \(2+4=5\) แบบนี้คือสมการ แต่เป็นสมการที่ไม่เป็นจริง (ผิด)
แล้วถ้าเกิดพี่มีสมการในรูปแบบด้านบนหล่ะ เช่น สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ที่บอกว่า \(x+4=6\) แบบนี้มันจะเป็นสมการที่เป็นจริงหรือไม่เป็นจริง ถูกต้องแล้วครับ มันจะ งง ๆ ถูกไหมน้อง เพราะเราไม่รู้ว่า \(x\) คือค่าอะไร
\((x={\color{blue}{2}})\Rightarrow{\color{blue}{2}}+4=6\Rightarrow\) เป็นจริง
\((x={\color{blue}{3}})\Rightarrow{\color{blue}{3}}+4=6\Rightarrow\) ไม่เป็นจริง
ถ้าพี่แทนค่า \(x\) เป็น \(2\) เราจะได้ว่าสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวของเราจะเป็นจริง เพราะ สองบวกสี่ก็ได้หก แต่หากเราแทน \(x=3\) สมการของเราจะเป็นเท็จ (ไม่เป็นจริง) ทันที ดังนั้น สมการแบบนี้ก็เป็นสมการอีกประเภทหนึ่ง ที่เราเรียกว่า สมการที่มีตัวแปรไม่ทราบค่า
ดังนั้นประเภทของสมการมี 3 ประเภท ได้แก่ (1) สมการที่เป็นจริง เช่น \(5+6=11\) และ (2) สมการที่ไม่เป็นจริง เช่น \(5\times 4=19\) และ (3) สมการที่มีตัวแปรไม่ทราบค่า เช่น \(3x=18\)
การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
สมการที่เราสนใจก็คือ สมการประเภทที่ 3 ครับ ซึ่งก็คือสมการที่จะติดตัวแปร 1 ตัวให้น้อง ๆ แก้หาคำตอบของสมการ
คำตอบของสมการ คือ จำนวนที่ แทนที่ ตัวแปรแล้วทำให้สมการ เป็นจริง
ใช่แล้วครับน้อง ๆ เหมือนตอนประถมเลยที่คุณครูให้เราเติมตัวเลขที่ถูกต้องในช่องว่าง นั่นแหละครับ คำตอบของสมการที่เราต้องการ ที่นี้ในหัวข้อนี้เราจะมาดูกันว่า หากเรามีสมการ เราจะแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ได้อย่างไร โดยที่ไม่ต้องสุ่มแทนค่าในตัวแปรเหมือนสมัยประถม
สมบัติที่จะใช้ในการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
1. สมบัติการเท่ากันเกี่ยวกับการบวก
2. สมบัติการเท่ากันเกี่ยวกับการคูณ
1. สมบัติการเท่ากันเกี่ยวกับการบวก
เราจะใช้ สมบัติของการเท่ากัน ในการช่วยแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวของเรา โดยพี่จะให้น้อง ๆ มองแบบง่าย ๆ แบบนี้ครับ ให้เรานึกถึง ตาชั่ง
สมการคือสิ่งที่สองฝั่งจะเท่ากัน นั่นก็คือฝั่งซ้าย \(x+4\) จะเท่ากับฝั่งขวา \(6\) ถ้าเราเขียนในรูปแบบของสมการ ก็คือ \(x+4=6\) การที่เรามีตาชั่งที่สมดูล (สองทั้งสองข้างเท่ากัน) เราสามารถ เพิ่มของแบบเดียวกันทั้งสองฝั่ง เพื่อให้ตาชั่งยังสมดุลเหมือนเดิม เช่น พี่อยากใส่ส้มที่น้ำหนักเท่ากัน 1 ลูกทั้งสองฝั่งพี่ก็จะได้
ภาษาทางคณิตศาสตร์เราเรียกว่า สมบัติการเท่ากันเกี่ยวกับการบวก หรือ สมบัติการเท่ากันของการบวก ก็คือถ้าเรามีสมการ เราสามารถบวกอะไรก็ได้ที่เหมือนกันไปทั้งสองฝั่ง และทั้งสองฝั่งก็ยังเท่ากันเหมือนเดิม ทีนี้ในทางคณิตศาสตร์ เราก็คงไม่ได้บวกด้วยส้มแน่ ๆ เพราะมันไม่ได้ช่วยเราแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวของเรา
ไอเดียของการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวคือ เราจะพยายามจัดรูปโดยการบวกส้มเมื่อกี้แหละ ให้สุดท้ายแล้ว ตัวแปร อยู่ฝั่งใดฝั่งหนึ่ง ของสมการแบบโดด ๆ
\(x+4=6\)
หากน้องสังเกตสมการด้านบน \(x\) คือตัวแปรของเรา แต่มันอยู่ฝั่งซ้ายซึ่งมี เลข \(4\) อยู่ด้วย เราต้องการกำจัด \(+4\) ออกไป เพราะเราต้องการให้ตัวแปรอยู่แบบเหงา ๆ ตัวเดียว สิ่งที่เราจะ บวกทั้งสองฝั่ง เพื่อกำจัด \(+4\) ก็คือสิ่งที่ตรงกันข้ามกับ \(+4\) นั่นก็คือ \(-4\)
ใช้แล้วครับน้อง ๆ ส้มของเราคือ \(-4\)
ฝั่งซ้าย \(+4\) กับ \(-4\) จะตัดกันทิ้งทำให้เหลือแค่ \(x\) และฝั่งขวาก็จะเป็นตัวเลข \(6+(-4)=6-4=2\) นั่นเอง
\(\require{cancel}\begin{aligned} x+\cancel{4}-\cancel{4}&=6+(-4)\\ x&=2 \end{aligned}\)
คำตอบของเราจึงเป็น \(x=2\)
ซึ่งถ้าน้องสังเกตดี ๆ ตัวอย่างด้านบน \(x+4=6\) เราอยากให้พจน์ที่มี \(x\) อยู่โดด ๆ ดังนั้นเราจึงอยากกำจัด \(+4\) ทิ้ง เราจึงจะ บวกด้วย \(-4\) (พูดง่าย ๆ คือ ลบด้วย \(4\) ทั้งสองข้างของสมการ) ดังนั้น
หากอยากกำจัดบวก ให้ลบด้วยตัวนั้นทั้งสองข้างของสมการ
\(\require{cancel}\begin{aligned} x+6=7\qquad\Rightarrow\qquad x+\cancel{6}\;{\color{red}{-\cancel{6}}}&=7\;{\color{red}{-6}} \end{aligned}\)
\( \begin{aligned} x+\dfrac{3}{4}=\dfrac{5}{4}\qquad\Rightarrow\qquad x+\cancel{\dfrac{3}{4}}\;{\color{red}{-\cancel{\dfrac{3}{4}}}}&=\dfrac{5}{4}\;{\color{red}{-\dfrac{3}{4}}} \end{aligned} \)
ในทางเดียวกัน หากเราอยากกำจัดเลขลบ ก็ให้เราบวกเลขนั้นทั้งสองข้างของสมการ เพื่อให้ฝั่งที่เรากำจัดหายไปตัดกัน \(\)
\(\require{cancel}\begin{aligned} x-\dfrac{5}{4}=1\qquad\Rightarrow\qquad x-\cancel{\dfrac{5}{4}}\;{\color{red}{+\cancel{\dfrac{5}{4}}}}&=1\;{\color{red}{+\dfrac{5}{4}}} \end{aligned}\)
\begin{aligned} x-8=2\qquad\Rightarrow\qquad x-\cancel{8}\;{\color{red}{+\cancel{8}}}&=2\;{\color{red}{+8}} \end{aligned}
ทั้งสองตัวบน (การกำจัดบวกและกำจัดลบ) คือการแก้สมการโดยใช้ สมบัติการเท่ากันเกี่ยวกับการบวก ต่อมาเราจะมาดูอีกสมบัติที่เราสามารถใช้แก้สมการได้ในกรณีที่เราต้องกำจัดตัวเลขที่มันคูณหรือหารตัวแปรเราอยู่
2. สมบัติการเท่ากันเกี่ยวกับการคูณ
หากเรามีสมการที่ตัวเลขที่เราอยากกำจัดมันคูณอยู่ เช่น \(7x=21\) เราอยากกำจัด \(7\) ซึ่งมันคูณอยู่ เราเลยจะทำการหารด้วย \(7\) ทั้งสองข้างของสมการ ตัวอย่างด้านล่างทั้งสองเป็นการกำจัดเลขที่คูณอยู่ โดยการนำไปหารทั้งสองฝั่งของสมการ
\(\require{cancel}\begin{aligned} 7x=21\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{\cancel{7}x}{\color{red}{\cancel{7}}}=\dfrac{21}{\color{red}{7}} \end{aligned}\)
\(\require{cancel}\begin{aligned} \dfrac{5}{4}x=10\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{\cancel{\dfrac{5}{4}}x}{\color{red}{\cancel{\dfrac{5}{4}}}}=\dfrac{10}{\color{red}{\dfrac{5}{4}}}=10\times\dfrac{4}{5} \end{aligned}\)
ในทางเดียวกัน หากน้อง ๆ อยากกำจัดเลขที่หารอยู่ เราก็จะนำไปคูณทั้งสองข้างของสมการ แบบตัวอย่างทั้งสองอันด้านล่าง
\(\require{cancel}\begin{aligned} \dfrac{x}{3}=9\qquad\Rightarrow\qquad {\color{red}{\cancel{3}\;\times}}\;\dfrac{x}{\cancel{3}}={\color{red}{3\;\times}}\;9 \end{aligned}\)
\(\require{cancel}\begin{aligned} \dfrac{x}{2}=\dfrac{4}{5}\qquad\Rightarrow\qquad {\color{red}{\cancel{2}\;\times}}\;\dfrac{x}{\cancel{2}}={\color{red}{2\;\times}}\;\dfrac{4}{5} \end{aligned}\)
ทริคการแก้สมการ
เมื่อเราอยากกำจัดตัวอะไร ให้ใช้เครื่องหมายตรงข้ามกระทำทั้งสองข้างของสมการ
1. กำจัดบวก ให้ ลบตัวนั้นทั้งสองข้างของสมการ
2. กำจัดลบ ให้ บวก ~
3. กำจัดคูณ ให้ หาร ~
4. กำจัดหาร ให้ คูณ ~
การย้ายข้างสมการ
สมมติเรามี \(x+4=6\) เหมือนเดิมครับ สิ่งที่เราจะทำก็คือ นำ \(4\) ไปลบทั้งสองข้างของสมการ จะได้เป็นแบบด้านซ้ายในภาพ
ซึ่งฝั่งซ้ายคือวิธีการจริง ๆ ในการแก้สมการว่า มีที่มาที่ไปอย่างไร ให้น้อง ๆ สังเกตดูที่บรรทัดแรกกับบรรทัดสุดท้ายในภาพครับ ใช่แล้วครับ เราจะย่อการแก้สมการไม่ว่าจะเป็นการแก้ด้วย บวกลบคูณหรือหาร ให้อยู่ในแบบฝั่งขวา ที่เราเรียกกันง่าย ๆ ว่า การย้ายข้างสมการ
อยากย้ายข้างพจน์ไหนไปอีกฝั่ง
เราจะย้ายไป แต่ต้องกลับเป็นเครื่องหมายตรงข้าม
เวลาดูเครื่องหมายให้น้อง ๆ ใช้เครื่องหมาย หน้า ตัวที่ต้องการย้ายนะ ให้สังเกตตัวอย่างต่อไปนี้ โดยที่เครื่องหมายพี่จะทำตัวอักษรสีแดงไว้ให้
\(\require{cancel}\begin{aligned} x\;{\color{red}{+\;5}}=6&\qquad\Rightarrow\qquad x=6\;{\color{red}{-\;5}}\\ x\;{\color{red}{-\;2}}=3&\qquad\Rightarrow\qquad x=3\;{\color{red}{+\;2}}\\ \end{aligned}\)
บางโจทย์น้อง ๆ อาจจะเจอตัวแปรอยู่ข้างหลัง ก็สามารถย้ายข้างได้เหมือนกันครับ โดยให้ดูเครื่องหมาย หน้า เหมือนเดิม ถ้าตัวเลขนั้นอยู่หน้าสุดโดยไม่มีเครื่องหมายข้างหน้า หมายความว่า เป็นเครื่องหมายบวก*
\(\require{cancel}\begin{aligned} 5-x=10\qquad&\Rightarrow\qquad {\color{red}{+\;5}}-x=10\\ &\Rightarrow\qquad\;\;\;\;\;\;-\;x=10\;{\color{red}{-\;5}}\\ \end{aligned}\)
บรรทัดแรกเราอยากย้าย \(5\) ไปอีกฝั่ง แต่ \(5\) ไม่มีเครื่องหมายข้างหน้า แสดงว่าเป็นเครื่องหมายบวก เราจึงใส่บวกเพื่อให้ดูง่ายขึ้น จากนั้นย้ายปกติเลยครับน้อง ๆ การย้ายข้างสมการไปอีกฝั่ง เครื่องหมายกลับ เป็นลบ ทีนี้เราติดเครื่องหมายลบ \(-x=5\) ให้น้อง ๆ คูณด้วย \(-1\) ทั้งสองข้างของสมการเพื่อให้ตัวแปรเราเป็นบวก*
\(\require{cancel}\begin{aligned} -x&=5\\ (-1)\times(-x)&=(-1)\times 5\\ x&=-5 \end{aligned}\)
เวลาเจอตัวแปรติดลบสุดท้ายเราต้องกำจัดลบโดยการคูณ \(-1\) ทั้งสองข้างของสมการ แต่ส่วนมากพี่จะไม่ทำแบบนั้นครับ เพราะเรามีโอกาสลืมได้ง่ายมากว่ามีเครื่องหมายลบอยู่ด้วย วิธีที่พี่มักจะทำ คือ ย้ายข้างพจน์ตัวแปรไปอีกฝั่ง เพราะอะไรครับ เพราะว่า การย้ายข้างสมการ เราจะต้องกลับเครื่องหมายอยู่แล้ว ดังนั้น หากเราย้าย \(-x\) เราก็จะได้ \(+x\) นั่นเอง
ดังนั้น โจทย์เดิมครับ \(5-x=10\) เราจะย้ายตัวแปรไปฝั่งขวาแทน และตัวเลขทั้งหมดมาฝั่งซ้าย ดังนั้น เราต้องย้าย สองพจน์ คือ \(-x\) และ \(+10\)
\(\require{cancel}\begin{aligned} 5\;{\color{red}{-\;x}}&=10\\ 5&=10\;{\color{red}{+\;x}}\\ 5&=+\;10+x\\ 5&={\color{blue}{+\;10}}+x\\ 5\;{\color{blue}{-\;10}}&=+x\\ -5&=+x\\ -5&=x\\ \end{aligned}\)
ต่อมาเราจะเพิ่มความซับซ้อนโดย โจทย์กำหนดให้ \(\;3n+5=6n-4\) จงหาค่าของ \(n\)
ข้อนี้เรามีตัวแปรอยู่ทั้งสองฝั่งเลย ไม่มีอะไรต่างจากเดิมครับ เราต้องการย้ายตัวแปรให้อยู่ฝั่งเดียวกัน และอีกฝั่งมีแต่ตัวเลข ทีนี้น้อง ๆ ต้องตัดสินใจว่าอยากย้ายพจน์ที่มี \(n\) ไปฝั่งซ้ายหรือขวา กฎเหล็กที่พี่ทำก็คือ เราอยากย้ายไปฝั่งที่พจน์ตัวแปรไม่ต้องติดลบ*
ทั้งสองพจน์ \(3n\) และ \(6n\) มีเครื่องหมายข้างหน้าเป็นบวกทั้งคู่ (อย่างที่บอกเนอะ ถ้าไม่มีเครื่องหมาย มันคือเครื่องหมายบวกนั่นเอง) ถ้าเราจะจับย้ายฝั่ง มันจะต้องย้ายไป ลบ ดังนั้น พี่จะย้าย \(3n\) ไปฝั่งขวา เพราะ สัมประสิทธิ์หน้าพจน์ \(3n\) คือ \(3\) ซึ่งน้อยกว่า \(6\) ใน \(6n\) เวลาย้ายไปลบ จะได้ไม่เป็นเลขติดลบ
\(\require{cancel}\begin{aligned} 3n+5&=6n-4\\ {\color{red}{+\;3n}}+5&=+\;6n-4\\ +\;5&=+\;6n{\color{red}{\;-\;3n}}-4\\ +\;5&=+\;6n-3n{\color{blue}{\;-\;4}}\\ +5\;{\color{blue}{+\;4}}&=+\;6n-3n\\ \end{aligned}\)
พอเราย้ายข้างเสร็จแล้ว ทีนี้เราจะรวมพจน์ครับ ฝั่งซ้ายไม่มีอะไรเพราะเป็นตัวเลขเฉย ๆ ส่วนฝั่งขวา เราจะต้อง ดึงตัวประกอบ \(n\) ออกมา*
\(\require{cancel}\begin{aligned} 5+4&=6n-3n\\ 9&=(6-3)n\\ 9&=3n\\ \end{aligned}\)
ขั้นตอนสุดท้ายกำจัด \(3\) โดยใช้ สมบัติการเท่ากันเกี่ยวกับการคูณ ออกจาก \(n\) โดยการย้ายไปหาร เพราะ \(3\) คูณ \(n\) อยู่
\(\require{cancel}\begin{aligned} 9=3n&={\color{red}{3\;\times\;}}n\\\dfrac{9}{\color{red}{3}}&=n\\ 3&=n \end{aligned}\)
ตรงนี้น้อง ๆ อย่าสับสนนะครับ การที่เราย้ายทั้งก้อน เช่น ย้าย \(3n\) มาเป็น \(-3n\) ฝั่งขวาของสมการ คือการที่เราย้าย ทั้งก้อน ดังนั้น ทั้งก้อนถือเป็นกล่องดำที่เรามองไม่เห็น เวลาย้าย \(3n\) เลขสามกับตัวแปร \(n\) มันจะตัวติดไปอีกฝั่งด้วยกัน แต่พออีกแบบที่เราต้องการย้ายแค่ \(3\) ออกจาก \(n\) อันนี้เราต้องดูว่า \(3\) มันทำอะไรอยู่ ซึ่งมันคูณอยู่ ดังนั้นเราจะย้ายไปหารนั่นเอง
สรุปการย้ายข้างแก้สมการ
1. ย้ายพจน์ที่มีตัวแปรไปอยู่ฝั่งเดียวกัน และย้ายพจน์ที่เหลือ (ตัวเลขล้วน) ไปอีกฝั่ง
2. คำนวณและจัดรูปอย่างง่าย ฝั่งที่มีตัวแปร ให้ดึงตัวแปรออกมาเป็นตัวประกอบร่วมและนำตัวเลขมาคำนวณกัน
3. กำจัดสัมประสิทธิ์ที่คำนวณออกมาจากข้อ 2) ที่คูณหรือหารตัวแปรเราอยู่ ด้วยสมบัติการเท่ากันของการคูณ ถ้าคูณอยู่ ให้ไปหาร ถ้าหารอยู่ให้ไปคูณ
โจทย์สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวที่ซับซ้อนมากขึ้น
ในหัวข้อนี้พี่ขอเรียกมันว่าเป็น สมการสองบรรทัด แล้วกันครับน้อง ๆ มันคือสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวที่อยู่ในรูปของเศษส่วนแบบซับซ้อนมากกว่าเดิม
หากน้อง ๆ จำได้ ในหัวข้อที่แล้ว เรามีโจทย์ \(\dfrac{x}{2}-3=\dfrac{2x}{3}\) แบบนี้ก็เป็นเศษส่วนหรือเปล่าพี่ ยังไม่เชิงครับ เนื่องจากข้อนี้ เราสามารถมองเศษส่วนเป็นตัวเลขสัมประสิทธิ์ได้
\(\dfrac{1}{2}\cdot x-3=\dfrac{2}{3}\cdot x\)
ถ้าเรามอง \(\boxed{\dfrac{1}{2}}\) เป็นแค่ตัวเลข และ \(\boxed{\dfrac{2}{3}}\) เป็นแค่ตัวเลข มันก็แค่แก้สมการปกติเลย
\(\boxed{\phantom{x}}\cdot x-3=\boxed{\phantom{x}}\cdot x\)
ดังนั้น ในหัวข้อนี้ เราจะพูดถึงสมการเศษส่วนที่ตัวส่วนไม่ใช่ครอบคลุมเป็นแค่สัมประสิทธิ์ของตัวแปรเรา
สมมติว่าพี่มี \(\dfrac{x+3}{2x}=12\) หากน้องสังเกตกันดี ๆ จะเห็นว่ามันไม่ใช่สมการแบบที่เราเคยเจอกัน แต่มันเป็นสมการที่ติดเศษส่วน เหมือนที่พี่บอกว่ามันคือ สมการสองบรรทัด นั่นเองครับ (เศษ และ ส่วน)
วิธีการแก้สมการแบบนี้ เราจะต้องกำจัดเศษส่วนกันก่อน หรือพูดง่าย ๆ ว่าแปลงให้เหลือบรรทัดเดียวแบบที่น้อง ๆ เคยเจอและแก้สมการกันเป็นแล้วในหัวข้อที่แล้ว หลักการพี่อยากให้น้อง ๆ มองตัวส่วนเป็นก้อนครับ
\(\dfrac{x+3}{\boxed{2x}}=12\)
อยากกำจัดก้อน ใช่ครับ เหมือนเดิมเลย เราดูว่าก้อนทำอะไรอยู่ ก้อนกำลังเป็นตัวหารอยู่ ดังนั้น ย้ายก้อนไปอีกฝั่ง ต้องเปลี่ยนเป็นคูณนั่นเอง
\begin{aligned} x+3&=12\times{\boxed{2x}}\\ x+3&=24x\\ \color{red}{+x}+3&=24x\\ 3&=24x\;{\color{red}{-\;x}}\\ 3&=(24-1)x\\ 3&=\color{blue}{23}x\\ \dfrac{3}{\color{blue}{23}}&=x \end{aligned}
ดังนั้น หลักการก็คือ กำจัดเศษส่วนโดยนำส่วนย้ายไปคูณอีกฝั่ง
อีกตัวอย่าง ถ้าเรามี \(\;\dfrac{x+4}{3}-5x=6\)
จริง ๆ การแก้สมการ มีหลากหลายวิธีมาก ๆ เลยครับ แล้วแต่ว่าเรามองเห็นโจทย์เป็นแบบไหน แต่ในขั้นตอนพื้นฐานพี่อยากให้น้อง ๆ มองมันเป็นระบบ คือเราจะพยายามจัดรูปให้มันอยู่ในสิ่งที่เรารู้อยู่แล้วว่าแก้ยังไง เช่น ตัวอย่างข้อบน เรารู้วิธีการแก้สมการที่ไม่ติดเศษส่วน เราก็จะพยายามแปลงเอาเศษส่วนออก
ข้อนี้ก็เหมือนกันครับ โจทย์เป็นเศษส่วนบ้าง ไม่เป็นเศษส่วนบ้าง
จุดมุ่งหมายของเราคือ เราอยากให้เวลา ติดเศษส่วน ติดเศษส่วนทั้งก้อนฝั่งซ้ายเลย* เราจะได้กำจัดส่วนโดยการย้ายข้างไปคูณได้ ถ้าแยกกันแบบนี้ เราจะย้ายไปไม่ได้ เพราะมันติดอีกพจน์ที่ขวางเราอยู่
ดังนั้นพจน์ \(5x\) เราอยากได้ \(\dfrac{\boxed{\phantom{x}}}{3}\) เราจึงคูณด้วย \(3\) ทั้งเศษและส่วน
\(5x=5x\times \dfrac{3}{3}=\dfrac{5x\times3}{3}=\dfrac{15x}{3}\)
ดังนั้น โจทย์เลยเปลี่ยนเป็น
\begin{aligned} \dfrac{x+4}{3}-5x&=6\\ \dfrac{x+4}{3}-\dfrac{15x}{3}&=6\\ \dfrac{x+4-15x}{3}&=6\\ \dfrac{1x-15x+4}{3}&=6\\ \dfrac{(1-15)x+4}{3}&=6\\ \dfrac{-14x+4}{3}&=6\\ \end{aligned}
เมื่อเราได้สมการที่อยู่ในรูปของเศษส่วนสองบรรทัดที่เราคุ้นเคยแล้ว เราก็จับย้ายส่วนขึ้นไปคูณอีกฝั่งได้เลย
\begin{aligned} \dfrac{-14x+4}{3}&=6\\ -14x+4&=6\times3\\ -14x+4&=18\\ -14x&=18-4\\ -14x&=14\\ x&=\dfrac{14}{-14}\\ x&=-1 \end{aligned}
ตัวอย่างอีกข้อ จงแก้สมการ \(\dfrac{4}{5}=2-\dfrac{x+7}{x+5}\)
เราจะจัดรูปฝั่งขวาก่อน เพราะฝั่งขวาเป็นสมการที่ติดเศษส่วนบ้างไม่ติดเศษส่วนบ้าง ดังนั้น เราจะทำให้เป็นเศษส่วนเดียวกัน (ส่วนเท่ากัน)
เนื่องจากส่วนข้อนี้คือ \(x+5\) เราอย่าไปกลัวครับน้อง ๆ อะไรที่มันเยอะ ๆ ถ้าน้อง ๆ ขี้เกียจมองมันก็ให้มองเป็นก้อนสี่เหลี่ยม
\begin{aligned} 2-\dfrac{x+7}{\boxed{x+5}}&=2-\dfrac{x+7}{\boxed{\phantom{x}}}\\ &=2\times\dfrac{\boxed{\phantom{x}}}{\boxed{\phantom{x}}}-\dfrac{x+7} {\boxed{\phantom{x}}}\\ &=\dfrac{2\;\boxed{\phantom{x}}}{\boxed{\phantom{x}}}-\dfrac{x+7} {\boxed{\phantom{x}}}\\ \end{aligned}
ถึงตรงนี้ ก่อนที่เราจะรวมเศษส่วน (รวมได้แล้วเพราะส่วนเท่ากัน) พี่อยากให้น้อง ๆ ระวัง เวลารวมเศษถ้าไม่อยากพลาดเครื่องหมายให้ใส่วงเล็บครอบก่อนเสมอ*
\begin{aligned} \dfrac{2\;\boxed{\phantom{x}}}{\boxed{\phantom{x}}}-\dfrac{x+7} {\boxed{\phantom{x}}}&\Rightarrow\dfrac{{\color{red}{(}}2\;\boxed{\phantom{x}}{\color{red}{)}}}{\boxed{\phantom{x}}}-\dfrac{{\color{red}{(}}x+7{\color{red}{)}}} {\boxed{\phantom{x}}}\\ &\Rightarrow\dfrac{{\color{red}{(}}2\;\boxed{x+5}{\color{red}{)}}}{\boxed{\phantom{x}}}-\dfrac{{\color{red}{(}}x+7{\color{red}{)}}} {\boxed{\phantom{x}}}\\ &\Rightarrow\dfrac{{\color{red}{(}}2(x+5){\color{red}{)}}}{\boxed{\phantom{x}}}-\dfrac{{\color{red}{(}}x+7{\color{red}{)}}} {\boxed{\phantom{x}}}\\ &\Rightarrow\dfrac{{\color{red}{(}}2x+10{\color{red}{)}}}{\boxed{\phantom{x}}}-\dfrac{{\color{red}{(}}x+7{\color{red}{)}}} {\boxed{\phantom{x}}}\\ &\Rightarrow\dfrac{{\color{red}{(}}2x+10{\color{red}{)}}-{\color{red}{(}}x+7{\color{red}{)}}} {\boxed{\phantom{x}}}\\ &\Rightarrow\dfrac{(2x+10)-(x+7)} {\boxed{\phantom{x}}} \end{aligned}
ถึงตรงนี้ น้อง ๆ สังเกตให้ดี ๆ นะครับว่าด้านบนพี่แค่ใส่วงเล็บที่เศษและก็ จัดรูปตัวเศษพจน์แรกเฉย ๆ ทีนี้เราจะเริ่มรวมพจน์เศษแล้ว เมื่อกระจายวงเล็บ ถ้าข้างหน้าเครื่องหมายลบ เราต้องกระจายลบเข้าไปให้ทุกตัว*
ดังนั้น ข้อนี้เรารวมเศษส่วนฝั่งขวาและได้สมการที่โจทย์ถามว่า
\(\dfrac{4}{5}=\dfrac{2x+10-x-7}{x+5}\)
จัดรูปเศษฝั่งขวาต่อ จะได้เป็น
\(\dfrac{4}{5}=\dfrac{x+3}{x+5}\)
กำจัดเศษทั้งสองฝั่ง โดยการย้ายไปคูณอีกฝั่ง
\begin{aligned} 4(x+5)&=5(x+3)\\ 4x+20&=5x+15\\ 20-15&=5x-4x\\ 5&=x \end{aligned}
แล้วถ้าเราเจอเศษส่วนหลาย ๆ พจน์แต่ส่วนไม่เท่ากันหล่ะ เช่น \(\dfrac{x+2}{3}-\dfrac{x+6}{5}=4\) หากน้อง ๆ จำได้
วิธีการแก้สมการ คือ (1) ทำส่วนให้เท่ากัน
และ (2) ย้ายส่วนขึ้นไปคูณอีกฝั่งเพื่อกำจัดส่วน
สุดท้ายแล้ว เราจะไม่เหลือตัวส่วนเลยทั้งฝั่งซ้ายและขวา เพราะฉะนั้น จริง ๆ แล้ว หลักการนี้ เราสามารถทำรวมกันได้เลยในขั้นตอนเดียว โดยการ หา ค.ร.น. ของตัวส่วน และคูณตลอดทั้งสมการ
การนำ ค.ร.น. คูณตลอด เพื่อแก้สมการ
เนื่องจาก โจทย์สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว มีหลากหลายรูปแบบมาก ๆ ทั้งแบบง่ายและยาก พี่จึงอยากให้น้อง ๆ แยกโจทย์สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวเป็นสองรูปแบบ
โจทย์ปัญหาสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
1. สมการไม่ติดเศษส่วน
2. สมการติดเศษส่วน
แบบแรกเราเรียนกันไปแล้ว น้อง ๆ สามารถจับย้ายข้าง โดยให้ตัวแปรอยู่ฝั่งเดียวกัน และอีกฝั่งเป็นพจน์ที่ไม่ติดตัวแปร
แบบที่สองเราก็ได้เห็นวิธีการแก้โจทย์ไปบ้างแล้วในหัวข้อที่แล้ว แต่โจทย์สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวประเภทที่สองนี้ สามารถออกพลิกแพลงได้หลากหลายมาก ๆ ครับ พี่จึงอยากจะนำมาสรุปวิธีการแก้สมการ ที่สามารถใช้ได้กับทุกกรณีอีกที ซึ่งวิธีการนั้นก็คือ
การคูณด้วย ค.ร.น. ตลอดทั้งสมการ
หลักการ ก็ตามชื่อเลยครับ เราจะหา ค.ร.น. ของตัวส่วน ทั้งหมด แล้วนำไป คูณตลอดทั้งสมการ การจับตัวอะไรคูณตลอดทั้งสมการ ก็คือ สมบัติการเท่ากับของการคูณนั่นเอง หากน้อง ๆ จำได้ในหัวข้อบน ๆ พี่ขอแปะภาพเดิมให้ดูอีกที
จากภาพ \(c\) นี่แหละครับคือ ค.ร.น. ของตัวส่วนที่เราจะหาแล้วนำไปคูณ
อย่างโจทย์ข้อนี้ \(\dfrac{x+2}{3}-\dfrac{x+6}{5}=4\) ก่อนอื่นเราต้องดูก่อนว่าตัวส่วนมีอะไรบ้าง ตัวส่วนมี \(3\) กับ \(5\) ดังนั้น ค.ร.น. คือ \(15\) เราจะนำ \(15\) คูณตลอดทั้งสมการ และเนื่องจากการคูณสามารถแจกแจงการบวกได้ ดังนั้น เวลาพี่จับ ค.ร.น. ไปคูณ พี่จะกระจายให้แต่ละตัวไปเลย \(c(a+b)=ca+cb\) โดยที่ \(c\) ก็คือ ค.ร.น. ของเรานั่นเอง
\begin{aligned} {\color{red}{15\;\times\;}}\dfrac{x+2}{3}-{\color{red}{15\;\times\;}}\dfrac{x+6}{5}&={\color{red}{15\;\times\;}}4\\ 5(x+2)-3(x+6)&=60\\ (5x+10)-(3x+18)&=60 \end{aligned}
สังเกตไหมครับว่า เมื่อเราคูณด้วย ค.ร.น. แล้ว สมการเราตัวส่วนหายทันที กลายเป็นรูปแบบสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวแบบแรกที่ไม่ติดเศษส่วนทันที น้อง ๆ ก็สามารถจะแก้หาค่า \(x\) ได้ง่าย ๆ เลย และที่สำคัญที่พี่ย้ำคือ แต่ละพจน์ใส่วงเล็บไว้เสมอ เพราะเวลากระจายลบ น้อง ๆ จะไม่ทำผิดเครื่องหมาย* โดยลบต้องกระจายให้ทั้ง \(3x\) และ \(18\)
\begin{aligned} 5x+10-3x-18&=60\\ 2x-8&=60\\ 2x&=68\\ x&=34 \end{aligned}
พี่ขอยกตัวอย่างโจทย์จากพาร์ทที่แล้วมา \(\dfrac{4}{5}=2-\dfrac{x+7}{x+5}\) เราจะมาลองแก้โดยใช้วิธีนี้กันดูครับ
ก่อนอื่น ส่วนเรามีอะไรบ้าง มี \(5\) กับ \(x+5\) ถ้าส่วนไม่ใช่ตัวเลขแบบนี้ การหา ค.ร.น. ให้น้อง ๆ หาแค่ส่วนตัวเลขและนำพจน์ที่ติดตัวแปรคูณได้เลย อย่างข้อนี้ เลขเรามีแค่ \(5\) ก็ไม่ต้องไปหา ค.ร.น. เราจับ \(5\) มาคูณกับ \(x+5\) ได้เลย
เพราะฉะนั้น พจน์ที่เราจะนำไปคูณตลอดสมการ คือ \(5(x+5)\)
\(\require{cancel}\begin{aligned} {\color{red}{5(x+5)\;\times\;}}\dfrac{4}{5}&=\left[{\color{red}{5(x+5)\;\times\;}}2\right]-\left[{\color{red}{5(x+5)\;\times\;}}\dfrac{x+7}{x+5}\right]\\ {\color{red}{\cancel{5}(x+5)\;\times\;}}\dfrac{4}{\cancel{5}}&=\left[{\color{red}{5(x+5)\;\times\;}}2\right]-\left[{\color{red}{5\cancel{(x+5)}\;\times\;}}\dfrac{x+7}{\cancel{x+5}}\right]\\ 4(x+5)&=[10(x+5)]-[5(x+7)] \end{aligned}\)
เห็นไหมครับน้อง ๆ เพียงเราคูณด้วย ค.ร.น. เราก็แปลงโจทย์ให้ส่วนหายไปได้หมดเลย ที่เหลือก็เหลือแค่จัดรูปและแก้สมการเท่านั้นเอง อย่าลืมใส่วงเล็บในแต่ละพจน์ป้องกันเครื่องหมายผิดเวลากระจายลบนะครับ
\(\require{cancel}\begin{aligned} 4(x+5)&=[10(x+5)]-[5(x+7)]\\ 4x+20&=[10x+50]-[5x+35]\\ 4x+20&=10x+50-5x-35\\ 4x+20&=5x+15\\ 20-15&=5x-4x\\ 5&=x \end{aligned}\)
ถ้าน้อง ๆ ย้อนกลับไปที่ข้อแรก \(\dfrac{x+3}{2x}=12\) จริง ๆ การย้าย \(2x\) ขึ้นไปคูณอีกฝั่ง มันก็คือมาจากวิธี ค.ร.น. ได้เหมือนกันเลย เพราะข้อนี้เรามีตัวส่วนแค่ตัวเดียว ดังนั้น ค.ร.น. ที่เราจะนำไปคูณตลอดสมการ ก็คือ \(2x\)
\(\require{cancel}\begin{aligned} {\color{red}{\cancel{2x}\;\times\;}}\dfrac{x+3}{\cancel{2x}}&={\color{red}{2x\;\times\;}}12 \end{aligned}\)
หากบทความพี่เป็นประโยชน์ ฝากแชร์ต่อให้เพื่อนๆ ด้วยนะครับ :')