เลือกอ่านตามหัวข้อ?
ความหมายของเลขยกกำลัง
เรื่องเลขยกกำลังเราจะได้เรียนพื้นฐานสมบัติคร่าว ๆ กันในบทเรียน ม.1 กันก่อน และเราจะเรียนลึกกันตอน ม.2 ในเรื่องของ สมบัติของเลขยกกำลัง ม.2 เพิ่มเติมว่ามีอะไรบ้าง ดังนั้นในส่วนนี้เราจะเริ่มที่พื้นฐาน ม.1 กันก่อน ก่อนอื่นเราต้องรู้ความหมายของเลขยกกำลัง
จากที่น้อง ๆ ได้เรียนรู้กันมาก่อนหน้านี้เกี่ยวกับเรื่อง จำนวน ไม่ว่าจะเป็นจำนวนเต็ม ทศนิยม หรือเศษส่วนก็ตาม หากเราต้องการนำ เลขตัวหนึ่งมาคูณตัวมันเองซ้ำ ๆ ไปหลาย ๆ ที เราสามารถใช้ เครื่องหมายคูณ \(\times\) ได้
\(4\times4\times4=64\)
อย่างตัวอย่างข้างบนพี่ได้ทำการจับเลข \(4\) มาคูณกันจำนวน \(3\) ตัวด้วยกัน สังเกตว่าเรายังเขียนมันได้อย่างง่ายดาย แค่ \(3\) ตัวเองพี่ สบาย ๆ แล้วถ้าพี่บอกเราว่า น้องครับพี่อยากได้เลข \(4\) คูณกันทั้งหมด \(100\) ตัว
ยังไงก็ต้องมีน้องโกงพี่โดยการเขียนมาแบบด้านบนแน่ ๆ ใช่แล้วครับน้อง เราจะมาเขียนกันให้ครบ 100 ตัวก็คงใช้เวลาและเปลืองกระดาษอีก ดังนั้น เราจึงมีการเรียกและสัญลักษณ์การเขียน เลขตัวเดิมคูณกันซ้ำ ๆ หลายที ว่า เลขยกกำลัง
\(4\times4\times4\) เรียกว่า \(4\) ยกกำลัง \(3\)
เพราะมี \(4\) คูณกันอยู่ \(3\) ตัว
เราจะมีวิธีเขียนว่า \(a^n\) อ่านว่า \(a\) ยกกำลัง \(n\) ก็คือการนำ \(a\) ไปคูณกันทั้งสิ้น \(n\) ตัว โดยตัวล่างเราจะเรียกว่า เลขฐาน และตัวบนจะเรียกว่า เลขชี้กำลัง
ดังนั้น อย่างตัวอย่างที่กล่าวไป หากต้องการ \(4\) มาคูณกันถึง \(100\) ตัว เราก็จะเขียนได้ว่า \(4^{100}\) อ่านว่า "4 ยกกำลัง 100" สรุปความหมายของเลขยกกำลัง ก็คือเลขตัวเดิมมาคูณกันซ้ำ ๆ ไปตามจำนวนของเลขชี้กำลังนั่นเอง
อย่างเช่น หากเราพูดถึง เลขยกกำลัง 2 เราก็จะมี \(4^{\color{blue}{2}}=16\), \(7^{\color{blue}{2}}=49\) ซึ่งน้อง ๆ จะสังเกตเห็นว่า เลขชี้กำลังคือ \(2\) เหมือนกัน เพราะ เรากำลังพูดถึง เลขยกกำลัง 2 นั่นเอง
ในทางเดียวกัน หากเราพูดถึง เลขยกกำลัง 3 เราก็จะมี \(3^{\color{blue}{3}}=27,5^{\color{blue}{3}}=125\) เป็นต้น เลขฐานเราเป็นเลยอะไรก็ได้ ส่วนเลขชี้กำลังในกรณีของ เลขยกกำลัง 3 ก็จะเป็นเลข \(3\) นั่นเองครับ
สมบัติของเลขยกกำลัง (Part 1)
ในหัวข้อนี้เราจะพูดถึง สมบัติของเลขยกกำลัง ที่น้อง ๆ จะได้เรียนเบื้องต้นในชั้น ม.1 ก่อน ซึ่งก็คือ การคูณเลขยกกำลัง และ การหารเลขยกกำลัง
การคูณเลขยกกำลัง
เริ่มที่ การคูณเลขยกกำลัง พี่จะให้น้อง ๆ ลองสังเกตจากรูปด้านล่าง จะสังเกตว่าพี่นำ \(6^3\) ซึ่งคือเลขยกกำลัง 3 มาคูณกับ \(6^2\) เลขยกกำลัง 2 เนื่องจากการยกกำลังก็คือการคูณกัน ดังนั้น หากเราเขียนแจกแจง การคูณของเลขยกกำลัง แต่ละก้อนออกมา จะเห็นได้ชัดเลยถูกไหมครับว่า เป็นเครื่องหมายคูณเหมือนกันทั้งหมด ตามภาพด้านล่าง เพราะฉะนั้น เราสามารถดึงวงเล็บออกได้
เมื่อดึงวงเล็บออกแล้ว น้อง ๆ ก็จะได้ เลข \(6\) เรียงกันอยู่ 5 ตัว ซึ่งเครื่องหมายเป็นการคูณทั้งหมด คุ้น ๆ หรือเปล่าเอ่ย ใช่แล้วครับน้อง ๆ มันก็คือเลขยกกำลังนั่นเอง ฐานเป็น 6 ส่วน เลขชี้กำลังเป็น 5
คำถามคือ แล้ว \(5\) มาจากไหน ?
ก้อนแรกเรามี \(6\) อยู่ 3 ตัว ส่วนก้อนหลังเรามี \(6\) อยู่ 2 ตัวด้วยกัน เมื่อนำมารวมกัน ใช่แล้ว เราต้องนำมา บวก กันครับ จะได้ว่าตอนนี้เรามีเลข \(6\) อยู่ทั้งหมด \(5\) ตัวซึ่งมาจาก \(3+2=5\) นั่นเอง เลยเป็นที่มาของ สมบัติการคูณเลขยกกำลัง ดังนี้
\(a^m\times a^n = a^{m+n}\)
ข้อสังเกต จะใช้สมบัตินี้ได้ก็ต่อเมื่อ เรามี เลขฐานที่เท่ากัน เพราะเลขยกกำลังคือการนำเลขตัวเดิมมาคูณกันซ้ำ ๆ ดังนั้น เราจะรวมก้อนซ้าย \(a^m\) กับก้อนขวา \(a^n\) ได้ก็ต่อเมื่อ ฐานเป็น \(a\) เหมือนกัน (นับว่ามี \(a\) รวมแล้วทั้งหมด \(m+n\) ตัว)
การหารเลขยกกำลัง
การหารก็จะคล้าย ๆ การคูณครับ ให้น้อง ๆ ลองสังเกตรูปด้านล่างกันก่อน เมื่อเรานำมาเขียนในรูปแบบเศษส่วน ย้ำอีกทีว่า ฐานต้องเท่ากัน ถึงจะจัดอยู่ในการใช้สมบัตินี้
เมื่อเรานำ \(6^3\) มาหารด้วย \(6^2\) เราสามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้เหมือนในภาพด้านบน ซึ่งน้อง ๆ จะเห็นว่าเราสามารถ จับคู่แล้วตัดทิ้งได้ เนื่องจากฐานเป็นเลขเดียวกัน ดังนั้น ตัวเลขที่ปรากฎในเศษส่วนทั้งหมด ก็จะเหมือนเลขเดียวกันด้วย เพราะฉะนั้น เราสามารถตัดได้จนตัวส่วนหมดเลยครับ อย่างกรณีข้างบน ด้านบนเรามี \(6\) ด้วยกัน 3 ตัว ส่วนด้านล่างมี \(6\) อยู่ 2 ตัว เราจึงทำการจับคู่เลข 6 จนด้านบนเหลือ \(6\) เพียงแค่ 1 ตัว
ซึ่งเลข \(1\) มาจากไหน ใช่แล้วครับ มาจาก เลขชี้กำลังนำมาลบกัน เราจะได้ \(\dfrac{6^3}{6^2}=6^{3-2}=6^1\) สุดท้ายแล้วเราเลยได้สมบัติดังนี้ครับ
\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)
น้อง ๆ บางคนอาจจะสงสัยว่าแล้วถ้า \(m\lt n\) หล่ะพี่ แปลว่าผลลัพธ์ \(a^{m-n}\) จะได้เลขชี้กำลังที่ติดลบ อย่างเช่น \(\dfrac{6^2}{6^3}=6^{2-3}=6^{(-1)}\) ซึ่งเป็นเลขยกกำลังติดลบ น้อง ๆ อาจจะเริ่มตั้งคำถามกันแล้วว่า เลขยกกำลังติดลบ หมายความว่ายังไง คูณกันไปจำนวนลบเท่านี้ครั้งหรอ ก็ไม่น่าใช่ ดังนั้น เราเลยมีนิยามใหม่ให้กับเลขยกกำลังติดลบครับ ลองสังเกตตามภาพด้านล่างกันก่อน
อย่าลืมว่าเวลาเราตัดพจน์เลข \(6\) จนหมดในด้านใดด้านหนึ่ง ไม่ว่าจะเป็นข้างบนหรือข้างล่าง มันจะเหลือเลข \(1\) เสมอ ดังนั้น เราจะเห็นว่า สำหรับโจทย์ที่เลขชี้กำลังตัวบนน้อยกว่าตัวล่างนั้น \(\dfrac{6^2}{6^3}\) ก็ไม่ได้ยากกว่ากันมากครับ เมื่อเราตัดพจน์เสร็จ ด้านบนจะเหลือ \(1\) ส่วนด้านล่างเหลือ \(6\) อยู่ 1 ตัว ผลลัพธ์เราเลยเป็น
\(\dfrac{6^2}{6^3}=\dfrac{1}{6^1}\)
และจากด้านบนเรารู้ว่า ถ้าเราใช้สมบัติการหารเลขยกกำลัง \(\dfrac{6^2}{6^3}=6^{2-3}\) จะต้องได้ค่า \(6^{(-1)}\)
แสดงว่ามันมีค่าเท่ากัน ถูกแล้วครับน้อง ๆ เนื่องจากสมบัติการหารตั้งมาแบบนี้ ดังนั้นกรณีที่ได้เลขชี้กำลังติดลบก็จะแปลว่า เป็นเศษส่วนของเลขชี้กำลังบวก นั่นเอง เลยเป็นที่มาของ บทนิยามอีกอันที่บอกว่า
\(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\)
และจากสมบัติที่ว่า \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\) นั้น หากเราจับให้ \(m=n\) เราจะได้นิยามใหม่ขึ้นมาครับ ที่กล่าวว่า อะไรยกกำลังศูนย์ก็จะได้ 1 ตามแบบด้านล่างเลย
\(\require{cancel}\begin{aligned} \dfrac{a^m}{a^m}&=a^{m-m} \\1&=a^0 \end{aligned}\)
ความแตกต่างของ \((-a)^n\) กับ \(-a^n\)
เรื่องนี้จริง ๆ อาจจะเป็นเรื่องย่อยก็ได้ แต่พี่อยากแยกออกมาให้น้องเห็นกันชัด ๆ และมาฝึกสังเกตไปด้วยกันครับ ว่าแต่ละตัวมีความหมายอย่างไร และมีอะไรที่น่าสนใจบ้าง
ตัวแรก \((-a)^n\) จะคล้าย ๆ กับโจทย์แบบฝึกหัดที่น้องเจอ \((-2)^4\) กรณีแบบนี้ ให้สังเกตว่า วงเล็บมันคลุมเลขทั้งหมด รวมถึงเครื่องหมายติดลบด้วย ดังนั้น แปลว่า \(-2\) คือเลขที่น้องจะนำไปยกกำลัง \(4\) หรือคูณกัน 4 ตัวนั่นเองครับ เวลาเราเขียนว่า \((-2)^4\) เราจะอ่านว่า "ลบสองทั้งหมดยกกำลังสี่"
\(\require{cancel}\begin{aligned} (-2)^4&={\color{blue}{(-2)}}\times(-2)\times(-2)\times(-2) \\&={\color{blue}{4}}\times(-2)\times(-2) \\&={\color{blue}{(-8)}}\times(-2) \\&={\color{blue}{16}} \end{aligned}\)
สิ่งที่พี่อยากให้น้อง ๆ สังเกตกันอีกอย่างก็คือ เครื่องหมายของคำตอบครับ สมมติว่าพี่มีอีกโจทย์ที่ให้หาค่าของ \((-2)^3\)
\(\require{cancel}\begin{aligned} (-2)^3&={\color{blue}{(-2)}}\times(-2)\times(-2) \\&={\color{blue}{4}}\times(-2) \\&={\color{blue}{(-8)}} \end{aligned}\)
คำตอบของ \((-2)^4\) มีค่าเป็น บวก ส่วน \((-2)^3\) มีค่าติดลบ เนื่องจากเลขติดลบ จะมีคุณสมบัติการคูณว่า
เครื่องหมายจากการคูณเลขติดลบ
ลบคูณลบได้ บวก
ลบคูณบวกได้ ลบ
ดังนั้น หากน้องสังเกตสมการตอนพี่แก้หาคำตอบของแต่ละตัว จะเห็นได้ชัดเลยว่า คำตอบสีน้ำเงินเมื่อทำการคูณด้วย \(-2\) เพิ่มแต่ละที เครื่องหมายจะกลับไปกลับมา จากบวกเป็นลบ จากลบเป็นบวก เสมอ แล้วแบบนี้ มันจะเป็นบวกเมื่อไหร่ และเป็นบวกเมื่อไหร่ หล่ะพี่
จะเป็นลบ เมื่อ เลขชี้กำลังเป็นเลขคี่
จะเป็นบวก เมื่อ เลขชี้กำลังเป็นเลขคู่
ทริคง่าย ๆ เลยคือ เรากำลังพูดถึงจำนวนติดลบอยู่ \((-a)^n\) ดังนั้น หากเราแทนเลขชี้กำลังเป็น \(1\) กล่าวคือ \(n=1\) เราก็จะได้ตัวมันเอง \((-a)^1=(-a)\) ซึ่งเป็นเลขลบ และเลขชี้กำลังก็คือ \(1\) ซึ่งเป็นเลขคี่นั่นเอง
อะไรยกกำลัง \(1\) จะได้ตัวมันเอง \(\Rightarrow a^1=a\)
แล้วเมื่อน้องเข้าใจ \((-a)^n\) อย่างถ่องแท้แล้ว อีกตัวที่ชอบมาทำให้เราสับสนก็คือ \(-a^n\) นั่นเอง ให้สังเกตง่าย ๆ จากวงเล็บครับ หากเราไม่ใส่วงเล็บ แปลว่า กำลัง \(n\) อยู่แค่ที่ \(a\) เครื่องหมายลบไม่เกี่ยว มองง่าย ๆ แบบนี้
\(-a^n=-\left(a^n\right)\)
ดังนั้น เราแค่ไปคำนวณค่าของ \(a^n\) จากนั้นนำคำตอบที่ได้มาใส่เครื่องหมายลบนำหน้าครับ เช่น \(-3^4\) ให้น้อง ๆ ไปคิดค่า \(3^4\) ก่อน จะได้ว่า \(3^4=81\) ดังนั้น \(-3^4=-81\) เพราะใส่ลบนำหน้าคำตอบ
แล้ว \((-a)^n\) จะมีค่าเท่ากับ \(-a^n\) เมื่อไหร่ ?
จากที่เรารู้มา ความแตกต่างของสองพจน์นี้ ต่างกันที่ เครื่องหมายของคำตอบ \(-a^n\) จะต้องใส่ลบนำหน้าเสมอ แต่ \((-a)^n\) จะเป็นลบก็ต่อเมื่อ \((-a)^n\) เป็นลบด้วย นั่นก็คือตอนที่ \(n\) เป็นเลขคี่ นั่นเอง
การเขียนในรูปเลขยกกำลังอย่างง่าย
ส่วนมากในบทนี้แนวโจทย์ก็จะหนีไม่พ้นการจัดรูปให้อยู่ในรูปของเลขยกกำลังอย่างง่าย ซึ่งถ้าหากน้อง ๆ จำได้ สำหรับเลขยกกำลังนั้นเครื่องหมายที่เป็นเครื่องหมายหลักเลยก็คือเครื่องหมายคูณ (\(\times\))
เช่นเราอาจจะเจอโจทย์ให้เขียน \(\dfrac{x^3y}{y^2}\) ในรูปอย่างง่าย สำหรับพจน์ฐาน \(x\) มีพจน์เดียวเราก็ไม่ต้องทำอะไร แต่สำหรับพจน์ฐาน \(y\) มันหารกันอยู่ ดังนั้นเราสามารถนำเลขยกกำลังมาลบกันได้ครับ จะได้เป็น \(x^3y^{(1-2)}=x^3y^{(-1)}=\dfrac{x^3}{y}\) หากไม่อยากติดเลขชี้กำลังติดลบก็สามารถตบ \(y^1\) ลงมาด้านล่างได้เลย
แต่การจัดรูปอย่างง่าย ไม่ได้มีแค่พจน์ที่มีแค่การคูณและจับเลขชี้กำลังบวกลบกันเท่านั้น ในบางกรณีเราอาจจะเจอโจทย์ให้เราเขียนในรูปเลขยกกำลัง แต่โจทย์ดันให้เครื่องมาเป็นเครื่องหมายบวก (\(+\)) ใช่แล้วครับน้อง ฟังไม่ผิด ดังนั้นเราจะต้องประยุกต์เพิ่มด้วย
หากเราจำกันได้ การบวกเลขตัวเดิมซ้ำ ๆ กันไป เราสามารถเปลี่ยนเป็นการคูณแทนได้ เช่น \(2+2+2\) คือ \(2\) มาบวกกัน \(3\) ตัว เราสามารถเขียนได้ว่า \(2+2+2=\color{blue}{3}\color{blue}{\times} 2\) ดังนั้น เราจะพยายามแปลงโจทย์ให้เป็นเครื่องหมายคูณอย่างเดียว และเมื่อเป็นคูณอย่างเดียวแล้วเราน่าจะทำเป็นรูปอย่างง่ายของเลขยกกำลังได้ไม่ยาก
สมมติว่าเรามีโจทย์ว่า จงเขียน \(2^2+2^2\) ในรูปเลขยกกำลัง
เราต้องกำจัดเครื่องหมายบวกออกไปก่อน เพราะเลขยกกำลังไม่เคยมีเครื่องหมายบวกมาเกี่ยวข้อง จากโจทย์ให้น้องมอง \(2^2\) เป็นก้อนสี่เหลี่ยม \(\boxed{2^2}+\boxed{2^2}\) ซึ่งมันคือก้อนเดียวกันเลย ก้อนบวกก้อน ก็จะได้ \(2\times\boxed{\phantom{x}}\)
ดังนั้น \(\boxed{2^2}+\boxed{2^2}=2\times \boxed{2^2}\) แล้ว \(2\) เราคืออะไรครับ ใช่แล้ว คือ \(2^1\)
ดังนั้น เราจะได้เป็นในรูปที่คุ้นเคย ก็คือเลขยกกำลังฐานเดียวกันคูณกัน \(2^1\times 2^2\) ให้นำเลขยกกำลังมาบวกกันครับ คำตอบเราก็คือ \(2^{1+2}=2^3\)
การยกกำลังทศนิยม
สมมติโจทย์ให้น้องหาค่าของ \((0.4)^2=0.4\times0.4\) วิธีที่ง่ายที่สุดที่พี่ชอบใช้ก็คือการ คิดจำนวนทศนิยมทีหลัง ใช่แล้วครับ คล้าย ๆ เครื่องหมายติดลบเลยที่เราจะทดไว้ในใจและค่อยมาดูทีหลังว่า สุดท้ายแล้วเครื่องหมายของคำตอบเป็นบวกหรือลบ
ให้น้อง ๆ นำเลขที่ไม่ติดทศนิยมมาใช้คิดครับ เช่น \(0.4\) เราจะใช้เลข \(4\), \(0.23\) เราจะใช้ \(23\), หรือ \(1.5\) เราจะใช้ \(15\) จากนั้นก็คิดค่าเลขยกกำลังตามปกติได้เลย และจำนวนทศนิยมนั้น จะเป็นจำนวนทศนิยมทุกตัวบวกกัน
ตัวอย่าง \(0.4^2\) เราจะใช้เลข \(4^2=16\) และเนื่องจาก \(0.4\) เป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง แต่เรามี 2 ตัว ดังนั้นทศนิยมของคำตอบก็จะเป็น \(1\times 2=2\) ตำแหน่ง ดังนั้น \(16\) เมื่อแปลงเป็นทศนิยมสองตำแหน่ง จะได้เป็น \(0.16\) ซึ่งเป็นคำตอบของ \(0.4^2=0.16\)
อีกตัวอย่าง \(1.5^3\) เราจะใช้เลข \(15^3=3375\) และเนื่องจาก \(1.5\) เป็นเลขทศนิยม 1 ตำแหน่ง แต่เรามีทั้งหมด 3 ตัว เพราะเรายกกำลัง 3 คำตอบเลขต้องมีทศนิยม \(1\times 3=3\) ตำแหน่ง จะได้เป็น \(3.375\)
หากบทความพี่เป็นประโยชน์ ฝากแชร์ต่อให้เพื่อนๆ ด้วยนะครับ :')